Відмінності між версіями «Границя послідовності»

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
[перевірена версія][очікує на перевірку]
м
 
(Не показані 9 проміжних версій 4 користувачів)
Рядок 1: Рядок 1:
В математиці '''границею послідовності''' елементів [[Метричний простір|метричного простору]] або [[Топологічний простір|топологічного простору]] називають елемент того ж простору, який має властивість «притягувати»<!-- атрактори? --> елементи заданої послідовності. Границею послідовності елементів топологічного простору є така точка, кожен окіл якої містить всі елементи послідовності, починаючи з деякого номера. У метричному просторі окіл визначається через функцію відстані, тому поняття границі формулюється на мові відстаней. Історично першим було поняття [[Границя числової послідовності|границі числової послідовності]], що виникає в математичному аналізі, де воно служить підставою для системи наближень і широко використовується при побудові диференціального й інтегрального числення.
{{Disambig}}


Позначення:
* [[Границя числової послідовності]]
<math>\lim_{n \to \infty} x_n = a</math>
* [[збіжна послідовність (топологія)|Границя послідовності точок в топологічному просторі]]
* [[Поточкова збіжність|Поточкова границя послідовності функцій]]
* [[Рівномірна границя послідовності функцій]]
* [[Границя елементів метричного простору]]


(читається: ''границя послідовності ікс енне при ен, що прагне до нескінченності, дорівнює a''<ref>«Знак „lim“ становить собою перші три букви латинського слова limes&nbsp;— граница, кордон, межа; але читати його треба українською: „границя“»</ref>)
[[Категорія:Границі]]


=== Спорідненість зі [[Збіжність|збіжністю]] ===
Властивість послідовності мати границю називають збіжністю: якщо у послідовності є границя, то кажуть, що дана послідовність збігається; в іншому випадку (якщо у послідовності немає границі) говорять, що послідовність розбігається. У [[Гаусдорфів простір|гаусдорфовому просторі]] і, зокрема, метричному просторі, кожна підпослідовність збіжної послідовності збігається, і її границя дорівнює границі великої послідовності. Іншими словами, у послідовності елементів гаусдорфового простору не може бути двох різних границь. Може, однак, виявитися, що у послідовності немає границі, але існує підпослідовність (даної послідовності), яка має границю. Якщо з будь-якої послідовності точок простору можна виділити збіжну підпослідовність, то, кажуть, що даний простір має властивість секвенціальної компактності (або просто компактності, якщо компактність визначається виключно в термінах послідовностей).

=== Граничність у просторах ===
У топологічних просторах, що задовольняють першій аксіомі зліченності, поняття границі послідовності безпосередньо пов'язано з поняттям граничної точки (множини): якщо у множини є гранична точка, то існує послідовність елементів даної множини, що сходиться до цієї точки. Для довільних топологічних просторів такої послідовності може не існувати.

== Топологія ==
Послідовність точок <math>\{x_n\}</math> [[топологічний простір|топологічного простору]] <math>(X,\;\mathcal{T})</math> називається '''збіжною''' до точки <math>x</math>, якщо для будь-якого [[окіл|околу]] точки <math>x, O(x) </math> існує такий номер <math>N</math>, що всі елементи послідовності починаючи з цього номера належать околу:

:<math>(\forall n \ge N ) (x_n \in O(x))</math>

Точка <math>x</math> називається '''границею''' послідовності <math>\{x_n\}</math>
Іншими словами, властивість збіжності це властивість утримувати всі точки послідовності на певній відстані від границі, починаючи з деякого номера. Всі [[відкрита множина|відкриті множини]] точки являють собою систему околів цієї точки.
== Посилання ==
* {{Клепко_ВМ|частина=Границя послідовності|сторінки=199}}
== Примітки ==
{{reflist}}
{{math-stub}}
{{math-stub}}

[[Категорія:Границі]]

Поточна версія на 12:33, 26 листопада 2020

В математиці границею послідовності елементів метричного простору або топологічного простору називають елемент того ж простору, який має властивість «притягувати» елементи заданої послідовності. Границею послідовності елементів топологічного простору є така точка, кожен окіл якої містить всі елементи послідовності, починаючи з деякого номера. У метричному просторі окіл визначається через функцію відстані, тому поняття границі формулюється на мові відстаней. Історично першим було поняття границі числової послідовності, що виникає в математичному аналізі, де воно служить підставою для системи наближень і широко використовується при побудові диференціального й інтегрального числення.

Позначення:

(читається: границя послідовності ікс енне при ен, що прагне до нескінченності, дорівнює a[1])

Спорідненість зі збіжністю[ред. | ред. код]

Властивість послідовності мати границю називають збіжністю: якщо у послідовності є границя, то кажуть, що дана послідовність збігається; в іншому випадку (якщо у послідовності немає границі) говорять, що послідовність розбігається. У гаусдорфовому просторі і, зокрема, метричному просторі, кожна підпослідовність збіжної послідовності збігається, і її границя дорівнює границі великої послідовності. Іншими словами, у послідовності елементів гаусдорфового простору не може бути двох різних границь. Може, однак, виявитися, що у послідовності немає границі, але існує підпослідовність (даної послідовності), яка має границю. Якщо з будь-якої послідовності точок простору можна виділити збіжну підпослідовність, то, кажуть, що даний простір має властивість секвенціальної компактності (або просто компактності, якщо компактність визначається виключно в термінах послідовностей).

Граничність у просторах[ред. | ред. код]

У топологічних просторах, що задовольняють першій аксіомі зліченності, поняття границі послідовності безпосередньо пов'язано з поняттям граничної точки (множини): якщо у множини є гранична точка, то існує послідовність елементів даної множини, що сходиться до цієї точки. Для довільних топологічних просторів такої послідовності може не існувати.

Топологія[ред. | ред. код]

Послідовність точок топологічного простору називається збіжною до точки , якщо для будь-якого околу точки існує такий номер , що всі елементи послідовності починаючи з цього номера належать околу:

Точка називається границею послідовності Іншими словами, властивість збіжності це властивість утримувати всі точки послідовності на певній відстані від границі, починаючи з деякого номера. Всі відкриті множини точки являють собою систему околів цієї точки.

Посилання[ред. | ред. код]

Примітки[ред. | ред. код]

  1. «Знак „lim“ становить собою перші три букви латинського слова limes — граница, кордон, межа; але читати його треба українською: „границя“»