Відмінності між версіями «Дельта-функція Дірака»

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
[неперевірена версія][неперевірена версія]
м (робот додав: hu:Dirac-deltafüggvény)
Рядок 1: Рядок 1:
'''δ-функція''' - це [[узагальнена функція]], формально визначається як неперервний [[лінійний функціонал]] у просторі [[диференційована функція|диференційовних функцій]].
+
'''δ-функція''' — це [[узагальнена функція]], формально визначається як неперервний [[лінійний функціонал]] у просторі [[диференційована функція|диференційовних функцій]].
 
δ-функція не є функцією в класичному розумінні.
 
δ-функція не є функцією в класичному розумінні.
   
Рядок 16: Рядок 16:
 
* <math>\int\limits_{-\infty}^{\infty} \delta(x)\, dx = 1</math>.
 
* <math>\int\limits_{-\infty}^{\infty} \delta(x)\, dx = 1</math>.
 
* <math>x\delta^\prime(x)=-\delta(x)</math>.
 
* <math>x\delta^\prime(x)=-\delta(x)</math>.
* <math>\delta(f(x)) = \sum_k \frac{\delta(x - x_k)}{|f'(x_k)|}</math>, де <math>x_k</math> — нулі функції <math>f(x)</math>.
+
* <math>\delta(f(x)) = \sum_k \frac{\delta(x - x_k)}{|f'(x_k)|}</math>, де <math>x_k</math>&nbsp;— нулі функції <math>f(x)</math>.
   
 
== Інтегральне представлення ==
 
== Інтегральне представлення ==
Рядок 42: Рядок 42:
   
 
== Похідна дельта-функції ==
 
== Похідна дельта-функції ==
Фундаментальний вираз, що описує похідну дельта-функції
+
Фундаментальний вираз, що описує похідну дельта-функції
 
<math>\delta(x)</math>:
 
<math>\delta(x)</math>:
   
Рядок 78: Рядок 78:
 
в результаті одержуємо, що спектр δ-функції є константою: <math>F(\delta)=1</math>.
 
в результаті одержуємо, що спектр δ-функції є константою: <math>F(\delta)=1</math>.
   
Доведено, що похідна [[функція Хевісайда|функції Хевісайда]] дорівнює дельта-функції. Тобто функція Хевісайда — [[первісна]] дельта-функції:
+
Доведено, що похідна [[функція Хевісайда|функції Хевісайда]] дорівнює дельта-функції. Тобто функція Хевісайда&nbsp;— [[первісна]] дельта-функції:
   
 
: <math>H(x)=\int\limits_{-\infty}^{x} \delta(t)\,dt</math>.
 
: <math>H(x)=\int\limits_{-\infty}^{x} \delta(t)\,dt</math>.
   
Отже, застосувавши перетворення Фур'є до первісної дельта-функції
+
Отже, застосувавши перетворення Фур'є до первісної дельта-функції
   
:<math>\sqrt{2\pi}H(t)</math>,
+
: <math>\sqrt{2\pi}H(t)</math>,
   
 
одержимо її образ у вигляді:
 
одержимо її образ у вигляді:
Рядок 118: Рядок 118:
   
 
== Фізична інтерпретація ==
 
== Фізична інтерпретація ==
[[Файл:Dirac distribution CDF.svg|right|thumb|300px|Графік [[Функція Хевісайда|функції Хевісайда]], похідна від якої — дельта-функція]]
+
[[Файл:Dirac distribution CDF.svg|right|thumb|300px|Графік [[Функція Хевісайда|функції Хевісайда]], похідна від якої&nbsp;— дельта-функція]]
 
[[Файл:Dirac distribution PDF.svg|right|thumb|300px|Графік дельта-функції]]
 
[[Файл:Dirac distribution PDF.svg|right|thumb|300px|Графік дельта-функції]]
 
=== Миттєве прискорення ===
 
=== Миттєве прискорення ===
Прикладом застосування дельта-функції Дірака може служити задача про зіткнення двох тіл. Якщо на непорушне тіло налітає інше, то обидва тіла отримують прискорення і змінюють свою швидкість. Як розрахувати прискорення раніше нерухомого тіла? Побудуємо графік швидкості від часу. Графік буде мати вигляд, показаний на верхньому рисунку праворуч. На нижньому рисунку приведений графік дельта-функції з одиничною амплітудою, він відображає миттєвий процес набору швидкості тілом.
+
Прикладом застосування дельта-функції Дірака може служити задача про зіткнення двох тіл. Якщо на непорушне тіло налітає інше, то обидва тіла отримують прискорення і змінюють свою швидкість. Як розрахувати прискорення раніше нерухомого тіла? Побудуємо графік швидкості від часу. Графік буде мати вигляд, показаний на верхньому рисунку праворуч. На нижньому рисунку приведений графік дельта-функції з одиничною амплітудою, він відображає миттєвий процес набору швидкості тілом.
   
Беручи до уваги те, що модель розглядається в евклідовому просторі, можна записати наступне рівняння:
+
Беручи до уваги те, що модель розглядається в евклідовому просторі, можна записати наступне рівняння:
   
:<math>a(t)=\nu\delta(t-t_a)</math>.
+
: <math>a(t)=\nu\delta(t-t_a)</math>.
   
   
 
=== Функція Гріна ===
 
=== Функція Гріна ===
Розглянемо інші приклади. Дельта-функція застосовується у математичній фізиці при розв'язку задач, У які входять зосереджені величини. В [[квазікласичне наближення|квазіклачисному наближенні]] <math>h \rightarrow 0</math> хвильові функції локалізуються в дельта-функції, а центри їх зосередження рухаються по класичних траекторіях за [[Закони Ньютона|рівняннями Ньютона]]. Через дельта-функцію, також записуєтся [[функція Гріна]] лінійного оператора <math>L</math>, що діє на узагальнені функції над [[многовид|многовидом]] <math>M</math> в точці <math>x_0</math>. Рівняння має вигляд <math>(\nabla^2f)(x)= \delta (x-x_0)</math>.
+
Розглянемо інші приклади. Дельта-функція застосовується у математичній фізиці при розв'язку задач, У які входять зосереджені величини. В [[квазікласичне наближення|квазіклачисному наближенні]] <math>h \rightarrow 0</math> хвильові функції локалізуються в дельта-функції, а центри їх зосередження рухаються по класичних траекторіях за [[Закони Ньютона|рівняннями Ньютона]]. Через дельта-функцію, також записуєтся [[функція Гріна]] лінійного оператора <math>L</math>, що діє на узагальнені функції над [[многовид|многовидом]] <math>M</math> в точці <math>x_0</math>. Рівняння має вигляд <math>(\nabla^2f)(x)= \delta (x-x_0)</math>.
   
де <math>\nabla^2</math> — [[оператор Лапласа]].
+
де <math>\nabla^2</math>&nbsp;— [[оператор Лапласа]].
   
 
Важливо відмітити наступну формулу
 
Важливо відмітити наступну формулу
Рядок 137: Рядок 137:
 
: <math>\nabla^2 G=-4\pi\delta</math>,
 
: <math>\nabla^2 G=-4\pi\delta</math>,
   
де
+
де
   
: <math>G = \frac{1}{r}</math> — [[функція Гріна]].
+
: <math>G = \frac{1}{r}</math>&nbsp;— [[функція Гріна]].
   
 
Цей вираз випливає з того, що <math>\nabla^2\left(\frac{1}{r}\right)</math> веде себе подібно до дельта-функції. <ref>[http://promsiu.narod.ru/files/belova/19.doc Доведення властивостей функції Гріна для точкового джерела] </ref>. Це твердження використовується для доведення того, що вираз для [[скалярний потенціал|скалярного потенціала]]:
 
Цей вираз випливає з того, що <math>\nabla^2\left(\frac{1}{r}\right)</math> веде себе подібно до дельта-функції. <ref>[http://promsiu.narod.ru/files/belova/19.doc Доведення властивостей функції Гріна для точкового джерела] </ref>. Це твердження використовується для доведення того, що вираз для [[скалярний потенціал|скалярного потенціала]]:

Версія за 13:17, 31 жовтня 2010

δ-функція — це узагальнена функція, формально визначається як неперервний лінійний функціонал у просторі диференційовних функцій. δ-функція не є функцією в класичному розумінні.

Введена англійським фізиком Діраком. Дозволяє записати просторову густину фізичної величини (маса, заряд, інтенсивність джерела тепла, сили тощо) зосередженою або прикладеною в одній точці. Наприклад, густина точкової маси m, що знаходиться в в точці , евклідового простору , записується за допомогою δ-функції у вигляді .

Означення

δ-функція визначається формальним співвідношенням

для будь-якої неперервної функції .

Властивості

Для дельта-функції однієї змінної справедливі такі рівняння:

  • .
  • .
  • .
  • , де  — нулі функції .

Інтегральне представлення

У багатьох випадках зручним виявляється таке представлення дельта-функції:

Розглянемо інтеграл

,    (1)

який можна інтерпретувати як границю

.    (2)

Відомо, що

.    (3)

В силу (3) для будь-якого справедлива рівність:

.    (4)

Можна показати, що при необмеженому зростанні виявляються правильними всі властивості дельта-функції і функція (2) прямує до ; це дозволяє зробити висновок, що:

.

Похідна дельта-функції

Фундаментальний вираз, що описує похідну дельта-функції :

.

Підставивши , одержимо вираз:

.

Після перетворення маємо:

.

Оскільки , одержуємо остаточний вираз

.

У загальному вигляді вираз похідної дельта-функції записується так:

.

Для довільної дельта-функції справджуються наступні тотожності:

;
;
.

Перетворення Фур'є

До дельта-функції можна застосувати перетворення Фур'є:

в результаті одержуємо, що спектр δ-функції є константою: .

Доведено, що похідна функції Хевісайда дорівнює дельта-функції. Тобто функція Хевісайда — первісна дельта-функції:

.

Отже, застосувавши перетворення Фур'є до первісної дельта-функції

,

одержимо її образ у вигляді:

.

Представлення в різних координатах і системах відліку

У двовимірному просторі:

;
;
.

У полярних координатах:

.

У тривимірному просторі:

;
.

У циліндричній системі:

.

У сферичній системі відліку:

.

Фізична інтерпретація

Графік функції Хевісайда, похідна від якої — дельта-функція
Графік дельта-функції

Миттєве прискорення

Прикладом застосування дельта-функції Дірака може служити задача про зіткнення двох тіл. Якщо на непорушне тіло налітає інше, то обидва тіла отримують прискорення і змінюють свою швидкість. Як розрахувати прискорення раніше нерухомого тіла? Побудуємо графік швидкості від часу. Графік буде мати вигляд, показаний на верхньому рисунку праворуч. На нижньому рисунку приведений графік дельта-функції з одиничною амплітудою, він відображає миттєвий процес набору швидкості тілом.

Беручи до уваги те, що модель розглядається в евклідовому просторі, можна записати наступне рівняння:

.


Функція Гріна

Розглянемо інші приклади. Дельта-функція застосовується у математичній фізиці при розв'язку задач, У які входять зосереджені величини. В квазіклачисному наближенні хвильові функції локалізуються в дельта-функції, а центри їх зосередження рухаються по класичних траекторіях за рівняннями Ньютона. Через дельта-функцію, також записуєтся функція Гріна лінійного оператора , що діє на узагальнені функції над многовидом в точці . Рівняння має вигляд .

де  — оператор Лапласа.

Важливо відмітити наступну формулу

,

де

 — функція Гріна.

Цей вираз випливає з того, що веде себе подібно до дельта-функції. [1]. Це твердження використовується для доведення того, що вираз для скалярного потенціала:

задовольняє рівнянню Пуасона:

.

Таким чином, дельта-функція є потужним математичним апаратом для опису складних фізичних процесів.

Див. також

Функція Хевісайда

Література

  • Кудрявцев Л. Д. «Краткий курс математического анализа, том 2», ISBN 5-9221-0185-4

Примітки

  1. Доведення властивостей функції Гріна для точкового джерела