Друга квадратична форма

Друга квадратична форма в диференціальній геометрії це квадратична форма на дотичній площині гладкої поверхні в тривимірному евклідовому просторі, зазвичай позначається $\mathrm {I\!I}$. Разом з першою фундаментальною формою, вона використовується для визначення зовнішніх інваріантів поверхні та її головних кривин. Поняття другої квадратичної форми узагальнюється на гладкі гіперповерхні в рімановому многовиді.

Випадок поверхні в R³

Мотивація

Друга фундаментальна форма параметрично заданої поверхні S в R³ була введена і вивчена Гаусом. Припустимо спочатку, що графіком поверхні є двічі безперервно диференційована функція z = f(x,y), і, що площина z = 0 буде дотичною площиною до поверхні в початку координат. Тоді f і його часткова похідна s по відношенню до x і y обернеться в нуль в (0,0). Таким чином, ряд Тейлора функції f в точці (0,0) починається з квадратичних членів:

$z=L{\frac {x^{2}}{2}}+Mxy+N{\frac {y^{2}}{2}}+\ \$ доданки вищого порядку

і друга фундаментальна форма на початку координат в координатах x, y є квадратична форма

$L\,{\text{d}}x^{2}+2M\,{\text{d}}x\,{\text{d}}y+N\,{\text{d}}y^{2}.\,$

Для гладкої точки P на S, можна вибрати систему координат таким чином, щоб площина z=0 проходила була дотичною до поверхні S в точці P, тому можна визначити другу фундаментальну форму таким же чином.

Класичний запис

Друга фундаментальна форма загальної параметрично заданої поверхні визначається наступним чином. Нехай r = r(u,v) буде регулярною параметризацією поверхні в R³, де r є гладкою вектор-функцією від двох змінних. Вона є спільною для часткових похідних r по u і v, які позначаються як r_u і r_v. Регулярність параметризації r_u і r_v, означає, що вони лінійно незалежні для будь-якої точки (u,v) в області r, і, отже, породжують дотичну площину S в кожній точці. Це рівнозначно тому, що векторний добуток r_u × r_v буде ненульовим вектором нормалі до поверхні. Таким чином, параметризація визначає поле одиничного вектора нормалі n:

$\mathbf {n} ={\frac {\mathbf {r} _{u}\times \mathbf {r} _{v}}{|\mathbf {r} _{u}\times \mathbf {r} _{v}|}}.$

Друга квадратична форма $n$-мірної поверхні

Друга квадратична форма $n$-мірної поверхні, вкладеної в простір $\mathbb {R} ^{n+1}$, — квадратична форма, що задає нормальну кривину. Нехай $\mathbf {n}$ — нормальний вектор в точці $P$, а $\mathbf {r} :\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n+1}$ — локальна карта поверхні в точці $P$.Тоді друга квадратична форма обчислюється за формулою $q_{ij}=\left(\mathbf {n} ,{\frac {\partial ^{2}\mathbf {r} }{\partial x^{i}\partial x^{j}}}\right)$.

Нормальна кривина $k_{n}$ за напрямом $\mathbf {u}$ обчислюється за формулою ${\frac {q(\mathbf {u} ,\mathbf {u} )}{g(\mathbf {u} ,\mathbf {u} )}}$, де $g$ — перша квадратична форма.

Теорема. Всі лінії на поверхні, що проходять через точку М поверхні зі спільною дотичною, мають одну і ту ж нормальну кривину. Відзначимо також, що в так званих Нормальних перетинах поверхні, що проходять через вектор нормалі, напрям цього вектора збігається з напрямком головної нормалі до лінії на поверхні, що лежить в цьому перетині, так що нормальна кривина збігається з кривиною цієї лінії. Зазвичай радіус кривини нормального перетину поверхні береться з протилежним знаком.