Дужки Пуассона: відмінності між версіями

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
[неперевірена версія][неперевірена версія]
Немає опису редагування
Немає опису редагування
Рядок 15: Рядок 15:


==Властивості==
==Властивості==
Властивості що випливають безпосередньо з математичного означення:

:<math>\{f,g \} = - \{f,g \} </math>

:<math>\{\alpha f + \beta g, h\} = \alpha \{f,g \} + \beta \{ f,g\} </math>

:<math>\frac{\partial}{\partial t}\{f,g \} = \{\frac{\partial f}{\partial t},g \} + \{f, \frac{\partial g}{\partial t}\} </math>

:<math>\{fg,h \} = \{f,h \} g + f \{g,h \}</math>

:<math>\{f, \{g,h \} \} + \{g, \{h,f \} \} + \{h, \{f,g \} \}= 0 </math> — [[тотожність Якобі]] <br />

Важливою властивістю дужок Пуасона є їх інваріантність відносно [[канонічні перетворення|канонічних перетворень]] - тобто відносно переходу до нового набору [[канонічні змінні|канонічних змінних]] <math>Q_1,...,P_N</math>

:<math> \{\varphi, g\} = \sum_i^N
\left( \frac{\partial \varphi}{\partial P_i} \frac{\partial g}{\partial Q_i}
- \frac{\partial \varphi}{\partial Q_i}\frac{\partial g} {\partial P_i}
\right),
</math>

Якщо одна з функцій співпадає з узагальненим [[узагальнені імпульси|імпульсом]] або [[узагальнені координати|координатою]], тоді отримаємо:

:<math>\{f,q_i \} = \frac{\partial f}{\partial p_i}</math>

:<math>\{p_i ,g \} = \frac{\partial g}{\partial q_i}</math>

Якщо замінити і другу фунцію

:<math>\{q_j,q_i \} = \{p_j,p_i \} = 0 </math>

:<math>\{p_j,q_i \} = \delta_{ji} </math>

Останні три тотожності - умова канонічності набору змінних <math>q_1,...,p_N</math>

Кожен [[інтеграл руху]] <math> \psi </math> повинен задовільняти рівнянню
Кожен [[інтеграл руху]] <math> \psi </math> повинен задовільняти рівнянню



Версія за 12:47, 14 лютого 2009

Дужками Пуассона в класичній механіці називається вираз

де й - будь які функції узагальнених координат та узагальнених імпульсів , - кількість ступенів свободи системи.


Пуассонова дужка є класичним аналогом квантового комутатора.

Властивості

Кожен інтеграл руху повинен задовільняти рівнянню

.


У випадку, коли не залежить від часу явно,

Зокрема, з огляду на теорему Ліувіля густина станів у фазовому просторі повинна задовільняти рівнянню Ліувіля

.

Дивись також

Джерела

  • Федорченко А.М. (1975). Теоретична механіка. Київ: Вища школа. , 516 с.