Елементарна алгебра

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Версія від 09:17, 15 січня 2017, створена Vity OKM (обговорення | внесок)
(різн.) ← Попередня версія | Поточна версія (різн.) | Новіша версія → (різн.)
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Елемента́рна а́лгебра (англ. Elementary algebra) — алгебра, що подається у вигляді навчальної дисципліни, орієнтованої на вивчення у загальноосвітній школі. Разом з арифметикою, елементарною геометрією та плоскою тригонометрією належить до елементарної математики, яка вивчається у рамках шкільної програми[1]. Дисципліна розглядає: основні поняття алгебри, основи комбінаторики, алгебраїчні вирази, раціональні та ірраціональні рівняння, системи рівнянь, функції та їх графіки, числові послідовності тощо.

Основні поняття[ред. | ред. код]

В алгебрі прийнято записувати математичні вирази (формули) в узагальненому виді, замінюючи конкретні числа на літерні символи, завдяки чому при вирішенні однотипних задач досягається максимальна узагальненість результату. Основним змістом алгебри є правила тотожних перетворень формул, що є необхідними для вирішення рівнянь, аналізу залежностей, оптимізації системи, що розглядається та інших практичних задач[2].

Крім літер і чисел, у формулах елементарної алгебри використовуються арифметичні операції: (додавання, віднімання, множення, ділення, піднесення до степеня, добування кореня) та елементарні функції (логарифм, тригонометричні функції). Дві формули, об'єднані знаком рівності, називаються рівнянням.

Алгебраїчна нотація визначає загальні особливості запису алгебраїчних виразів. Тут є певні правила, домовленості та спеціальна термінологія. Наприклад у виразі є наступні компоненти:

Algebraic equation notation.svg
1 : Показник степеня, 2 : Коефіцієнт, 3 : Доданок, 4 : Оператор, 5. Константа,  : змінні

Якщо символ операції між двома виразами не вказаний, то мається на увазі операція множення:

Приклад формули: площа трикутника так виражається через довжину однієї із сторін і величину висоти , опущеної на сторону :

Найпростіший алгебраїчний вираз — це одночлен, що складається з числового множника, помноженого на один або більше літерних символів[3]. Приклади:

Алгебраїчні суми (тобто суми та/або різниці) одночленів називають многочленами. Вирази, що мають вид частки від ділення одного многочлена на інший, називається алгебраїчним дробом. Дії з алгебраїчними дробами є аналогічними до дій із звичайними дробами — розкладання чисельника й знаменника на множники, приведення декількох дробів до спільного знаменника, скорочення чисельника й знаменника на спільний множник тощо.

Закони елементарної алгебри[ред. | ред. код]

Обчислення значення виразу[ред. | ред. код]

Порядок виконання операцій вказується дужками. Якщо дужки відсутні, то пріоритетність у порядку зменшення є наступною:

  1. Піднесення до степеня.
  2. Обчислення функції.
  3. Множення та ділення.
  4. Додавання та віднімання.

Приклади:

При обчисленні значення виразу замість літерних символів підставляють їхні числові значення, виходячи з умови конкретної задачі. Множина числових значень, при яких вираз має зміст, називається областю допустимих значень цього виразу[4]. Приклад: для виразу область допустимих значень — усе пари , у яких .

Властивості операцій[ред. | ред. код]

  • Віднімання є дією, оберненою до додавання.
  • Віднімання числа b є рівнозначним додаванню числа протилежного знаку:
  • Ділення є дією, оберненою до множення.
  • Ділення на нуль є неможливим.
  • Ділення на число b є рівнозначним множенню на число, обернене до b:
  • Піднесення до степеня не є комутативним. Тому у нього є дві обернені операції: добування кореня й логарифмування.
    • Приклад: якщо , то Якщо , то
  • Корінь парного степеня з від'ємного числа не існує (серед дійсних чисел).
  • Асоціативна (сполучна) властивість додавання:
  • Асоціативна (сполучна) властивість множення:
  • Дистрибутивна (розподільна) властивість множення:
  • Дистрибутивна (розподільна) властивість для піднесення до степеня:
  • Додавання показників степеня:
  • Множення показників степеня:

Властивості рівності[ред. | ред. код]

Інші закони[ред. | ред. код]

  • Якщо і , то (адитивність рівності)
    • Якщо , то для будь-якого c
  • Якщо і , то = (мультиплікативність рівності)
    • Якщо , то для будь-якого c
  • Якщо значення двох символів збігаються, то замість одного можна підставити інший (принцип підстановки).
  • Якщо і , то (транзитивність порядку).
  • Якщо , то для будь-якого c.
  • Якщо і , то
  • Якщо і , то

Деякі алгебраїчні тотожності[ред. | ред. код]

Див. також: Біном Ньютона

Розв'язування рівнянь[ред. | ред. код]

Докладніше: Рівняння

Рівняння — це рівність виду:

Розв'язування рівняння — сукупність дій стосовно рівності, для знаходження таких значень аргументів, при яких ця рівність забезпечується. На можливі значення аргументів можуть бути накладені додаткові умови (цілочисельності, дійсності тощо). Розв'язування рівнянь — одна з головних задач алгебри зокрема і математики взагалі. У ході історичного розвитку науки були розроблені різноманітні методи (алгоритми) розв'язування для великої кількості різновидів цієї задачі.

Див. також[ред. | ред. код]

Примітки[ред. | ред. код]

Джерела[ред. | ред. код]

  • Завало С. Т. Елементарна математика. Алгебра. — К. : Вища школа, 1971. — 356 с.
  • Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М. : Астрель, 2001. — 509 с. — ISBN 5-17-009554-6.
  • Зайцев В. В., Рыжков В. В., Сканави М. И. Элементарная математика. Повторительный курс. — Издание третье, стереотипное. — М. : Наука, 1976. — 592 с.
  • Глейзер Г. И. История математики в школе. — М. : Просвещение, 1964. — 376 с.
  • Шклярский Д. О., Ченцов Н. Н., Яглом И. М. 1: Арифметика и алгебра // Избранные задачи и теоремы элементарной математики. — 5-е издание. — М. : Наука, 1976. — 384 с.
  • Туманов С. И. Элементарная алгебра: пособие для самообразования. — 3-е изд., перераб. и доп. — М. : Просвещение, 1970. — 864 с.