Відмінності між версіями «Задача про перебірливу молодицю»
[перевірена версія] | [перевірена версія] |
Sanya3 (обговорення | внесок) м (додана Категорія:Послідовні методи з допомогою HotCat) |
|||
Рядок 1: | Рядок 1: | ||
− | '''Задача про перебірливу наречену''', або '''проблема зупинки вибору''' може бути сформульована таким чином:<ref> С.М. |
+ | '''Задача про перебірливу наречену''', або '''проблема зупинки вибору''' може бути сформульована таким чином:<ref> С. М. Гусейн-Заде. Разборчивая невеста, с. 3-4, М.: МЦНМО, 2003</ref> |
# Молодиця шукає собі нареченого (існує єдине вакантне місце). |
# Молодиця шукає собі нареченого (існує єдине вакантне місце). |
||
# Є відоме число ''n'' претендентів. |
# Є відоме число ''n'' претендентів. |
||
Рядок 9: | Рядок 9: | ||
# Мета: вибрати найкращого претендента. |
# Мета: вибрати найкращого претендента. |
||
− | Цьому завданню було приділено багато уваги саме тому, що оптимальна стратегія має цікаву особливість. А саме: якщо число кандидатів досить велике (порядку сотні), оптимальна стратегія буде полягати у відхиленні всіх перших ''n''/''e'' (де ''e''- [[e (число) | основа натурального логарифма ]]) претендентів і потім вибрати першого, хто буде кращим від всіх попередніх.<ref> С.М. |
+ | Цьому завданню було приділено багато уваги саме тому, що оптимальна стратегія має цікаву особливість. А саме: якщо число кандидатів досить велике (порядку сотні), оптимальна стратегія буде полягати у відхиленні всіх перших ''n''/''e'' (де ''e''- [[e (число) | основа натурального логарифма ]]) претендентів і потім вибрати першого, хто буде кращим від всіх попередніх.<ref> С. М. Гусейн-Заде, Разборчивая невеста. с. 18, М.: МЦНМО, 2003</ref> При збільшенні ''n'', ймовірність вибору найкращого претендента прагне до 1/''e'', тобто приблизно до 37 %. |
− | ==Виведення оптимальної стратегії== |
+ | == Виведення оптимальної стратегії == |
Оптимальним підходом для цієї задачі є [[Марківський момент часу|правило зупину]]. Згідно з ним, молодиця відмовляє першим ''r'' претендентом (нехай претендент ''M'' буде найкращим серед цих ''r'' претендентів), і тоді вибирає першого з наступних претендентів, який є кращим ніж претендент ''M''. Для довільного ''r'' розглянемо ймовірність обрання найкращого претендента. |
Оптимальним підходом для цієї задачі є [[Марківський момент часу|правило зупину]]. Згідно з ним, молодиця відмовляє першим ''r'' претендентом (нехай претендент ''M'' буде найкращим серед цих ''r'' претендентів), і тоді вибирає першого з наступних претендентів, який є кращим ніж претендент ''M''. Для довільного ''r'' розглянемо ймовірність обрання найкращого претендента. |
||
Нехай подія <math>B_r</math> полягає в обранні найкращого претендента, а подія <math>A_k</math> полягає в тому, що найкращим є претендент <math>k.</math> Отже, повна ймовірність становить |
Нехай подія <math>B_r</math> полягає в обранні найкращого претендента, а подія <math>A_k</math> полягає в тому, що найкращим є претендент <math>k.</math> Отже, повна ймовірність становить |
||
− | :<math>\mbox{P}(B_r)= \sum_{k=r+1}^n \mbox{P}(B_r|A_k)\mbox{P}(A_k).</math> |
+ | : <math>\mbox{P}(B_r)= \sum_{k=r+1}^n \mbox{P}(B_r|A_k)\mbox{P}(A_k).</math> |
Ми можемо стартувати з <math>r+1,</math> бо якщо найкращий претендент є серед перших <math>r,</math> то молодиця відмовила йому. За умови події <math>A_k,</math> подія <math>B_k</math> відбудеться лише якщо найкращий претендент з перших <math>k-1</math> перебуває серед перших <math>r,</math> яким молодиця відмовила. Тепер, для будь-якого довільного впорядкування <math>k-1</math> різних чисел, ймовірність того, що найбільше з них є серед перших <math>r</math> становить <math>r/(k-1).</math> З цього випливає, що |
Ми можемо стартувати з <math>r+1,</math> бо якщо найкращий претендент є серед перших <math>r,</math> то молодиця відмовила йому. За умови події <math>A_k,</math> подія <math>B_k</math> відбудеться лише якщо найкращий претендент з перших <math>k-1</math> перебуває серед перших <math>r,</math> яким молодиця відмовила. Тепер, для будь-якого довільного впорядкування <math>k-1</math> різних чисел, ймовірність того, що найбільше з них є серед перших <math>r</math> становить <math>r/(k-1).</math> З цього випливає, що |
||
− | :<math>\mbox{P}(B_r) = \sum_{k=r+1}^n\frac{r}{k-1}\cdot \frac{1}{n} = \frac{r}{n}\sum_{j=r}^{n-1}\frac{1}{j}.</math> |
+ | : <math>\mbox{P}(B_r) = \sum_{k=r+1}^n\frac{r}{k-1}\cdot \frac{1}{n} = \frac{r}{n}\sum_{j=r}^{n-1}\frac{1}{j}.</math> |
== Див. також == |
== Див. також == |
||
Рядок 28: | Рядок 28: | ||
== Посилання == |
== Посилання == |
||
− | * С. |
+ | * С. М. Гусейн-Заде. [http://www.mccme.ru/mmmf-lectures/books/books/book.25.pdf Разборчивая невеста. Библиотека «Математическое просвещение», том 25, МЦНМО, 2003] ISBN 5-94057-076-3 |
− | * С. |
+ | * С. М. Гусейн-Заде. [http://math.ru/media/lecture/3 Разборчивая невеста]. Видео-лекция. [[Малый мехмат]], МГУ, 30.11.2002. |
{{math-stub}} |
{{math-stub}} |
Поточна версія на 01:42, 17 червня 2018
Задача про перебірливу наречену, або проблема зупинки вибору може бути сформульована таким чином:[1]
- Молодиця шукає собі нареченого (існує єдине вакантне місце).
- Є відоме число n претендентів.
- Про кожного претендента можна сказати, що він кращий чи гірший від іншого.
- Молодиця спілкується з претендентами у випадковому порядку.
- В результаті спілкування з кожним нареченим молодиця повинна йому відмовити або прийняти його пропозицію.
- Рішення приймається тільки виходячи з оцінки претендента в порівнянні з попередніми.
- Знехтувані женихи не повертаються.
- Мета: вибрати найкращого претендента.
Цьому завданню було приділено багато уваги саме тому, що оптимальна стратегія має цікаву особливість. А саме: якщо число кандидатів досить велике (порядку сотні), оптимальна стратегія буде полягати у відхиленні всіх перших n/e (де e- основа натурального логарифма ) претендентів і потім вибрати першого, хто буде кращим від всіх попередніх.[2] При збільшенні n, ймовірність вибору найкращого претендента прагне до 1/e, тобто приблизно до 37 %.
Виведення оптимальної стратегії[ред. | ред. код]
Оптимальним підходом для цієї задачі є правило зупину. Згідно з ним, молодиця відмовляє першим r претендентом (нехай претендент M буде найкращим серед цих r претендентів), і тоді вибирає першого з наступних претендентів, який є кращим ніж претендент M. Для довільного r розглянемо ймовірність обрання найкращого претендента.
Нехай подія полягає в обранні найкращого претендента, а подія полягає в тому, що найкращим є претендент Отже, повна ймовірність становить
Ми можемо стартувати з бо якщо найкращий претендент є серед перших то молодиця відмовила йому. За умови події подія відбудеться лише якщо найкращий претендент з перших перебуває серед перших яким молодиця відмовила. Тепер, для будь-якого довільного впорядкування різних чисел, ймовірність того, що найбільше з них є серед перших становить З цього випливає, що
Див. також[ред. | ред. код]
Примітки[ред. | ред. код]
Посилання[ред. | ред. код]
- С. М. Гусейн-Заде. Разборчивая невеста. Библиотека «Математическое просвещение», том 25, МЦНМО, 2003 ISBN 5-94057-076-3
- С. М. Гусейн-Заде. Разборчивая невеста. Видео-лекция. Малый мехмат, МГУ, 30.11.2002.
![]() |
Це незавершена стаття з математики. Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її. |