Відмінності між версіями «Замкнута множина»

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
[неперевірена версія][неперевірена версія]
м
Рядок 1: Рядок 1:
'''За́мкнені мно́жини''' в [[Математичний аналіз|математичному аналізі]] та [[Функціональний аналіз|функціональному аналізі]] — це множина, яка складається з усіх елементів універсальної множини, що не входять до даної [[відкрита множина|відкритої множини]] (див. [[Доповнення множин]]).
+
'''За́мкнені мно́жини''' в [[Математичний аналіз|математичному аналізі]] та [[Функціональний аналіз|функціональному аналізі]] — задається як [[доповнення множин|доповнення]] до деякої [[відкрита множина|відкритої множини]].
   
 
== Означення ==
 
== Означення ==
   
Нехай дано [[топологічний простір]] <math>(X,\mathcal{T})</math>. [[Множина]] <math>V \subset X</math> называєтся '''замкненою''' відносно топології <math>\mathcal{T}</math>, якщо існує [[відкрита множина]] <math>U \in \mathcal{T},</math> така що <math>V = X \setminus U.</math>
+
Нехай дано [[топологічний простір]] <math>(X,\mathcal{T})</math>. [[Множина]] <math>V \subset X</math> називаєтся '''замкненою''' відносно топології <math>\mathcal{T}</math>, якщо існує [[відкрита множина]] <math>U \in \mathcal{T},</math> така що <math>V = X \setminus U.</math>
 
   
 
== Приклади ==
 
== Приклади ==
   
 
* Весь простір <math>X</math>, а також [[порожня множина]] <math>\emptyset</math> завжди замкнені.
 
* Весь простір <math>X</math>, а також [[порожня множина]] <math>\emptyset</math> завжди замкнені.
* [[Інтервал]] <math>[a,b] \subset \mathbb{R}</math> замкнений в стандартній [[топологія|топології]] на [[Дійсне число|дійсній прямій]], бо його [[доповнення]] відкрите.
+
* [[Інтервал]] <math>[a,b] \subset \R</math> замкнений в стандартній [[топологія|топології]] на [[Дійсне число|дійсній прямій]], бо його [[доповнення множин|доповнення]] відкрите.
* Множина <math>\mathbb{Q} \cap [0,1]</math> замкнена в просторі [[Раціональне число|раціональних чисел]] <math>\mathbb{Q}</math>, але не замкнене в просторі всіх [[дійсні числа|дійсних чисел]] <math>\mathbb{R}</math>.
+
* Множина <math>\Q \cap [0,1]</math> замкнена в просторі [[Раціональне число|раціональних чисел]] <math>\Q</math>, але не замкнене в просторі всіх [[дійсні числа|дійсних чисел]] <math>\R</math>.
   
 
== Властивості ==
 
== Властивості ==
Рядок 24: Рядок 23:
   
 
* [[Відкрита множина]].
 
* [[Відкрита множина]].
  +
* [[Замикання (топологія)]].
   
 
==Література==
 
==Література==

Версія за 16:07, 12 серпня 2009

За́мкнені мно́жини в математичному аналізі та функціональному аналізі — задається як доповнення до деякої відкритої множини.

Означення

Нехай дано топологічний простір . Множина називаєтся замкненою відносно топології , якщо існує відкрита множина така що

Приклади

Властивості

Із аксіом означення топології випливає:

  • перетин будь-якого набору закритих множин є закритою множиною
  • обєдання скінченної кількості закритих множин є закритою множиною

Інші властивості:

  • множина може бути ні закритою ні відкритою одночасно, як наприклад напіввідкритий інтервал в , (при стандартній топології на )
  • множина може бути і відкритою і закритою водночас - такими є всі підмножини в дискретній топології(де топологія - набір всіх підмножин даної множини)

Див. також

Література

  1. С. Т. Завало (1972). Елементи аналізу. Алгебра многочленів. Київ: Радянська школа. 
  2. Фихтенгольц (1954). Основы математического анализа. Москва: Радянська школа. 
  3. R.Wald, General Relativity