Границя послідовності

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
Версія для друку більше не підтримується і може мати помилки обробки. Будь ласка, оновіть свої закладки браузера, а також використовуйте натомість базову функцію друку у браузері.

В математиці границею послідовності елементів метричного простору або топологічного простору називають елемент того ж простору, який має властивість «притягувати» елементи заданої послідовності. Границею послідовності елементів топологічного простору є така точка, кожен окіл якої містить всі елементи послідовності, починаючи з деякого номера. У метричному просторі окіл визначається через функцію відстані, тому поняття границі формулюється на мові відстаней. Історично першим було поняття границі числової послідовності, що виникає в математичному аналізі, де воно служить підставою для системи наближень і широко використовується при побудові диференціального й інтегрального числення.

Позначення:

(читається: границя послідовності ікс енне при ен, що прагне до нескінченності, дорівнює a[1])

Спорідненість зі збіжністю

Властивість послідовності мати границю називають збіжністю: якщо у послідовності є границя, то кажуть, що дана послідовність збігається; в іншому випадку (якщо у послідовності немає границі) говорять, що послідовність розбігається. У гаусдорфовому просторі і, зокрема, метричному просторі, кожна підпослідовність збіжної послідовності збігається, і її границя дорівнює границі великої послідовності. Іншими словами, у послідовності елементів гаусдорфового простору не може бути двох різних границь. Може, однак, виявитися, що у послідовності немає границі, але існує підпослідовність (даної послідовності), яка має границю. Якщо з будь-якої послідовності точок простору можна виділити збіжну підпослідовність, то, кажуть, що даний простір має властивість секвенціальної компактності (або просто компактності, якщо компактність визначається виключно в термінах послідовностей).

Граничність у просторах

У топологічних просторах, що задовольняють першій аксіомі зліченності, поняття границі послідовності безпосередньо пов'язано з поняттям граничної точки (множини): якщо у множини є гранична точка, то існує послідовність елементів даної множини, що сходиться до цієї точки. Для довільних топологічних просторів такої послідовності може не існувати.

Топологія

Послідовність точок топологічного простору називається збіжною до точки , якщо для будь-якого околу точки існує такий номер , що всі елементи послідовності починаючи з цього номера належать околу:

Точка називається границею послідовності Іншими словами, властивість збіжності це властивість утримувати всі точки послідовності на певній відстані від границі, починаючи з деякого номера. Всі відкриті множини точки являють собою систему околів цієї точки.

Посилання

Примітки

  1. «Знак „lim“ становить собою перші три букви латинського слова limes — граница, кордон, межа; але читати його треба українською: „границя“»