Відмінності між версіями «Квадратична форма»

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
[неперевірена версія][неперевірена версія]
м (Впорядкування категорій впорядкування)
 
Рядок 10: Рядок 10:
   
 
== Матриця квадратичної форми ==
 
== Матриця квадратичної форми ==
{{section-stub}}
+
{{section-stub|дата=жовтень 2019}}
   
 
== Канонічна форма ==
 
== Канонічна форма ==

Поточна версія на 19:13, 1 грудня 2019

Квадрати́чна фо́рма — однорідний многочлен другого степеня від однієї чи декількох змінних.

Приклади[ред. | ред. код]

Квадратична форма від однієї змінної:

Квадратична форма від двох змінних:

Квадратична форма від трьох змінних:

Матриця квадратичної форми[ред. | ред. код]

Канонічна форма[ред. | ред. код]

Для довільної квадратичної форми існує базис, в якому її матриця є діагональною, а сама форма має канонічний вигляд: .

Для приведення квадратичної форми до канонічного вигляду використовують метод виділення повних квадратів (метод Лагранжа).

Координатне представлення[ред. | ред. код]

За аналогією з білінійними формами, можна розглядати квадратичну форму як відображення векторного простору в скалярне поле :

  • Якщо  — деякий базис лінійного простору то квадратична форма буде представлена як:

де  — симетрична матриця з елементами .

  • Якщо деякий інший базис в де  — невироджена матриця.

Тоді при переході до нового базису матриця квадратичної форми зміниться на конгруентну матрицю:

Пов'язані визначення[ред. | ред. код]

  • Симетричну білінійну форму A(x, y), називають полярною до квадратичної форми A(x, x).

Матриця білінійної форми збігається з матрицею полярної до неї білінійної форми в тому ж базисі.

Симетрична білінійна форма[ред. | ред. код]

  • Маючи білінійну форму можна отримати квадратичну форму підставивши  :
  • І навпаки, маючи квадратичну форму , використавши правило паралелограма, отримаємо асоційовану з нею симетричну білінійну форму:

Критерій Сильвестра[ред. | ред. код]

  • Квадратична форма є додатньо визначеною, тоді і тільки тоді, коли всі кутові мінори її матриці строго додатні.
  • Квадратичная форма є від'ємно визначеною, тоді і тільки тоді, коли знаки всіх кутових мінорів її матриці чергуються, причому мінор порядку 1 — від'ємний.

Закон інерції[ред. | ред. код]

  • Закон інерції: кількість нульових, позитивних та негативних елементів в діагональній матриці канонічної форми не залежить від обраного базису. Ці три числа називаються сигнатурою квадратичної форми.
  • Якщо на діагоналі наявні нульові елементи (отже, матриця має неповний ранг), то така квадратична форма називається виродженою.

Джерела[ред. | ред. код]

Посилання[ред. | ред. код]