Відмінності між версіями «Комутативне кільце»

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
[перевірена версія][перевірена версія]
Рядок 1: Рядок 1:
 
'''Комутативне кільце''' — [[кільце (алгебра)|кільце]], в якому операція [[множення]] є [[комутативність|комутативною]].
 
'''Комутативне кільце''' — [[кільце (алгебра)|кільце]], в якому операція [[множення]] є [[комутативність|комутативною]].
   
Вивченням кілець взагалі займається [[теорія кілець]] (частина [[абстрактна алгебра|абстрактної алгебри]]). А вивченням комутативних кіцець, їх [[Ідеал (алгебра)|ідеалів]] та [[модуль над кільцем|модулів]] над такими кільцями займається [[комутативна алгебра]].
+
Вивченням кілець взагалі займається [[теорія кілець]] (частина [[абстрактна алгебра|абстрактної алгебри]]). А вивченням комутативних кілець, їх [[Ідеал (алгебра)|ідеалів]] та [[модуль над кільцем|модулів]] над такими кільцями займається [[комутативна алгебра]].
   
 
[[Алгебрична геометрія]] та [[Алгебрична теорія чисел]] базуються саме на комутативній алгебрі.
 
[[Алгебрична геометрія]] та [[Алгебрична теорія чисел]] базуються саме на комутативній алгебрі.
Рядок 7: Рядок 7:
 
Деякі підвиди комутативних кілець (перечислені в порядку від загальніших до більш спеціалізованих):
 
Деякі підвиди комутативних кілець (перечислені в порядку від загальніших до більш спеціалізованих):
 
: '''комутативне кільце''' ⊃ '''[[область цілісності]]''' ⊃ '''[[Цілозамкнена область]]''' ⊃ '''[[факторіальне кільце]]''' ⊃ '''[[кільце головних ідеалів]]''' ⊃ '''[[евклідове кільце]]''' ⊃ '''[[поле (алгебра)|поле]]'''.
 
: '''комутативне кільце''' ⊃ '''[[область цілісності]]''' ⊃ '''[[Цілозамкнена область]]''' ⊃ '''[[факторіальне кільце]]''' ⊃ '''[[кільце головних ідеалів]]''' ⊃ '''[[евклідове кільце]]''' ⊃ '''[[поле (алгебра)|поле]]'''.
  +
  +
==Визначення і приклади==
  +
  +
===Визначення===
  +
{{details|topic=the definition of rings|Кільце (алгебра)}}
  +
''Кільце'' це [[множина]] ''R'', що містить додатково дві [[Бінарна операція|бінарні операції]], тобто операції, що поєднують будь-які два елементи кільця у третій елемент. Ці операції називаються ''додавання'' і ''множення'' і як правило позначаються символами "+" і "⋅"; тобто {{nowrap|''a'' + ''b''}} і {{nowrap|''a'' ⋅ ''b''}}. Щоб утворювати кільце ці операції повинні задовольняти декільком властивостям: кільце повинно бути [[Абелева група|абелевою групою]] відносно додавання, а також [[моноїд]]ом відносно множення, де множення є [[Дистрибутивність|дистрибутивним]] відносно додавання; тобто, {{nowrap|1=''a'' ⋅ (''b'' + ''c'') = (''a'' ⋅ ''b'') + (''a'' ⋅ ''c'')}}. Одиничні елементи для додавання і множення позначаються як 0 і 1, відповідно.
  +
  +
Якщо множення ж комутативним, тобто
  +
:''a'' ⋅ ''b'' = ''b'' ⋅ ''a'',
  +
тоді кільце ''R'' називають ''комутативним''.
   
 
== Див. також ==
 
== Див. також ==

Версія за 16:00, 18 лютого 2019

Комутативне кільце — кільце, в якому операція множення є комутативною.

Вивченням кілець взагалі займається теорія кілець (частина абстрактної алгебри). А вивченням комутативних кілець, їх ідеалів та модулів над такими кільцями займається комутативна алгебра.

Алгебрична геометрія та Алгебрична теорія чисел базуються саме на комутативній алгебрі.

Деякі підвиди комутативних кілець (перечислені в порядку від загальніших до більш спеціалізованих):

комутативне кільцеобласть цілісностіЦілозамкнена областьфакторіальне кільцекільце головних ідеалівевклідове кільцеполе.

Визначення і приклади

Визначення

Для отримання докладнішої інформації з цієї теми, див. Кільце (алгебра).

Кільце це множина R, що містить додатково дві бінарні операції, тобто операції, що поєднують будь-які два елементи кільця у третій елемент. Ці операції називаються додавання і множення і як правило позначаються символами "+" і "⋅"; тобто a + b і ab. Щоб утворювати кільце ці операції повинні задовольняти декільком властивостям: кільце повинно бути абелевою групою відносно додавання, а також моноїдом відносно множення, де множення є дистрибутивним відносно додавання; тобто, a ⋅ (b + c) = (ab) + (ac). Одиничні елементи для додавання і множення позначаються як 0 і 1, відповідно.

Якщо множення ж комутативним, тобто

ab = ba,

тоді кільце R називають комутативним.

Див. також

Джерела