Відмінності між версіями «Комутативне кільце»

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
[перевірена версія][перевірена версія]
м (автоматична заміна {{Не перекладено}} вікі-посиланнями на перекладені статті)
 
(Не показано 4 проміжні версії 2 користувачів)
Рядок 1: Рядок 1:
 
'''Комутативне кільце''' — [[кільце (алгебра)|кільце]], в якому операція [[множення]] є [[комутативність|комутативною]].
 
'''Комутативне кільце''' — [[кільце (алгебра)|кільце]], в якому операція [[множення]] є [[комутативність|комутативною]].
   
Вивченням кілець взагалі займається [[теорія кілець]] (частина [[абстрактна алгебра|абстрактної алгебри]]). А вивченням комутативних кіцець, їх [[Ідеал (алгебра)|ідеалів]] та [[модуль над кільцем|модулів]] над такими кільцями займається [[комутативна алгебра]].
+
Вивченням кілець взагалі займається [[теорія кілець]] (частина [[абстрактна алгебра|абстрактної алгебри]]). А вивченням комутативних кілець, їх [[Ідеал (алгебра)|ідеалів]] та [[модуль над кільцем|модулів]] над такими кільцями займається [[комутативна алгебра]].
   
[[Алгебрична геометрія]] та {{нп|алгебрична теорія чисел|||Algebraic number theory}} базуються саме на комутативній алгебрі.
+
[[Алгебрична геометрія]] та [[Алгебрична теорія чисел]] базуються саме на комутативній алгебрі.
   
 
Деякі підвиди комутативних кілець (перечислені в порядку від загальніших до більш спеціалізованих):
 
Деякі підвиди комутативних кілець (перечислені в порядку від загальніших до більш спеціалізованих):
: '''комутативне кільце''' ⊃ '''[[область цілісності]]''' ⊃ '''{{нп|цілозамкнена область|||Integrally closed domain}}''' ⊃ '''[[факторіальне кільце]]''' ⊃ '''[[кільце головних ідеалів]]''' ⊃ '''[[евклідове кільце]]''' ⊃ '''[[поле (алгебра)|поле]]'''.
+
: '''комутативне кільце''' ⊃ '''[[область цілісності]]''' ⊃ '''[[Цілозамкнена область]]''' ⊃ '''[[факторіальне кільце]]''' ⊃ '''[[кільце головних ідеалів]]''' ⊃ '''[[евклідове кільце]]''' ⊃ '''[[поле (алгебра)|поле]]'''.
  +
  +
==Визначення і приклади==
  +
  +
===Визначення===
  +
{{details|topic=the definition of rings|Кільце (алгебра)}}
  +
''Кільце'' це [[множина]] ''R'', що містить додатково дві [[Бінарна операція|бінарні операції]], тобто операції, що поєднують будь-які два елементи кільця у третій елемент. Ці операції називаються ''додавання'' і ''множення'' і як правило позначаються символами "+" і "⋅"; тобто {{nowrap|''a'' + ''b''}} і {{nowrap|''a'' ⋅ ''b''}}. Щоб утворювати кільце ці операції повинні задовольняти декільком властивостям: кільце повинно бути [[Абелева група|абелевою групою]] відносно додавання, а також [[моноїд]]ом відносно множення, де множення є [[Дистрибутивність|дистрибутивним]] відносно додавання; тобто, {{nowrap|1=''a'' ⋅ (''b'' + ''c'') = (''a'' ⋅ ''b'') + (''a'' ⋅ ''c'')}}. Одиничні елементи для додавання і множення позначаються як 0 і 1, відповідно.
  +
  +
Якщо множення ж комутативним, тобто
  +
:''a'' ⋅ ''b'' = ''b'' ⋅ ''a'',
  +
тоді кільце ''R'' називають ''комутативним''.
  +
  +
===Приклади===
  +
Важливим прикладом, в певному сенсі вирішальним, є [[Цілі числа|кільце цілих чисел]] '''Z''' із двома операціями додавання і множення. Оскільки множення цілих чисел є комутативною операцією, це комутативне кільце. Воно зазвичай позначається '''Z''', що є скороченням [[Німецька мова|німецького]] слова ''Zahlen'' (числа).
  +
  +
[[Поле (алгебра)|Поле]] це комутативне кільце, де <math> 0 \not = 1 </math> і кожен [[0 (число)|не нульовий]] елемент ''a'' є інвертованим; тобто, має мультиплікативне обернене число ''b'', таке що ''a'' ⋅ ''b'' = 1. Тому, за визначенням, будь-яке поле є комутативним кільцем. [[Раціональні числа|Раціональні]], [[Дійсне число|дійсні]] і [[Комплексне число|комплексні]] числа утворюють поля.
  +
  +
Якщо ''R'' це дане комутативне кільце, тоді множина всіх [[Многочлен|поліномів]] для змінної ''X'', коефіцієнти якого належать ''R'' утворюють [[Кільце многочленів|кільце поліномів]], що позначається як ''R''[''X'']. Те саме буде виконуватися і для декількох змінних.
  +
  +
Якщо ''V'' це деякий [[Топологічний простір]], наприклад підмножина деякої '''R'''<sup>''n''</sup>, [[Неперервна функція|неперервні функції]] над ''V'' дійсних або комплексних змінних утворюють комутативне кільце. Те саме буде вірним і для [[Диференційовна функція|диференційовних]] або [[Голоморфна функція|голоморфні функції]], коли обидва поняття визначені такими, що є [[Комплексний многовид|комплексним многовидом]] для ''V''.
   
 
== Див. також ==
 
== Див. також ==

Поточна версія на 22:52, 18 лютого 2019

Комутативне кільце — кільце, в якому операція множення є комутативною.

Вивченням кілець взагалі займається теорія кілець (частина абстрактної алгебри). А вивченням комутативних кілець, їх ідеалів та модулів над такими кільцями займається комутативна алгебра.

Алгебрична геометрія та Алгебрична теорія чисел базуються саме на комутативній алгебрі.

Деякі підвиди комутативних кілець (перечислені в порядку від загальніших до більш спеціалізованих):

комутативне кільцеобласть цілісностіЦілозамкнена областьфакторіальне кільцекільце головних ідеалівевклідове кільцеполе.

Визначення і приклади[ред. | ред. код]

Визначення[ред. | ред. код]

Для отримання докладнішої інформації з цієї теми, див. Кільце (алгебра).

Кільце це множина R, що містить додатково дві бінарні операції, тобто операції, що поєднують будь-які два елементи кільця у третій елемент. Ці операції називаються додавання і множення і як правило позначаються символами "+" і "⋅"; тобто a + b і ab. Щоб утворювати кільце ці операції повинні задовольняти декільком властивостям: кільце повинно бути абелевою групою відносно додавання, а також моноїдом відносно множення, де множення є дистрибутивним відносно додавання; тобто, a ⋅ (b + c) = (ab) + (ac). Одиничні елементи для додавання і множення позначаються як 0 і 1, відповідно.

Якщо множення ж комутативним, тобто

ab = ba,

тоді кільце R називають комутативним.

Приклади[ред. | ред. код]

Важливим прикладом, в певному сенсі вирішальним, є кільце цілих чисел Z із двома операціями додавання і множення. Оскільки множення цілих чисел є комутативною операцією, це комутативне кільце. Воно зазвичай позначається Z, що є скороченням німецького слова Zahlen (числа).

Поле це комутативне кільце, де і кожен не нульовий елемент a є інвертованим; тобто, має мультиплікативне обернене число b, таке що ab = 1. Тому, за визначенням, будь-яке поле є комутативним кільцем. Раціональні, дійсні і комплексні числа утворюють поля.

Якщо R це дане комутативне кільце, тоді множина всіх поліномів для змінної X, коефіцієнти якого належать R утворюють кільце поліномів, що позначається як R[X]. Те саме буде виконуватися і для декількох змінних.

Якщо V це деякий Топологічний простір, наприклад підмножина деякої Rn, неперервні функції над V дійсних або комплексних змінних утворюють комутативне кільце. Те саме буде вірним і для диференційовних або голоморфні функції, коли обидва поняття визначені такими, що є комплексним многовидом для V.

Див. також[ред. | ред. код]

Джерела[ред. | ред. код]