Відмінності між версіями «Континуанта (математика)»

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
[перевірена версія][перевірена версія]
м (Igor Yalovecky перейменував сторінку з Континуанта на Континуанта (математика))
Рядок 41: Рядок 41:
 
:<math> K_1 = a_1 ; \, </math>
 
:<math> K_1 = a_1 ; \, </math>
 
:<math> K_n = a_n K_{n-1} - b_{n-1}c_{n-1} K_{n-2} . \, </math>
 
:<math> K_n = a_n K_{n-1} - b_{n-1}c_{n-1} K_{n-2} . \, </math>
  +
  +
Оскільки ''b''<sub>''r''</sub> і ''c''<sub>''r''</sub> входять в ''K'' лише як добуток ''b''<sub>''r''</sub>''c''<sub>''r''</sub>, то без втрати загальності можна вважати, що всі ''b''<sub>''r''</sub> рівні 1.
  +
  +
Узагальнений котинуанти є визначником тридіагональної матриці
  +
  +
:<math> \begin{pmatrix}
  +
a_1 & b_1 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\
  +
c_1 & a_2 & b_2 & \ldots & 0 & 0 \\
  +
0 & c_2 & a_3 & \ldots & 0 & 0 \\
  +
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
  +
0 & 0 & 0 & \ldots & a_{n-1} & b_{n-1} \\
  +
0 & 0 & 0 & \ldots & c_{n-1} & a_n
  +
\end{pmatrix} . </math>
   
 
==References==
 
==References==

Версія за 17:07, 24 жовтня 2016

В алгебрі, континуанта —це многочлен, що представляє визначник тридіагональної матриці і застосовується в узагальнених неперервних дробах.

Означення

nконтинуанта рекурсивно визначається так

Властивості

  • Континуанту можна обчислити взявши суму всіх можливих добутків x1,...,xn, в яких вилучена будь-яка кількість неперетинних пар послідовних елементів (Правило Ейлера). Наприклад,
З цього випливає, що континуанти інваріантні щодо обернення порядку невідомих:
  • Континуанту можна обчислити як визначник тридіагональної матриці:
  • , це (n+1)-ше число Фібоначчі.
  • Співвідношення континуант представляє (підхідні дроби) неперервного дробу так:
  • Виконується така матрична тотожність:
    .
    • Для визначників це означає, що
    • і також

Узагальнення

Узагальнене визначення визначає континуанту за допомогою трьох послідовностей a, b і c, так що K(n) є многочленом від a1,...,an, b1,...,bn−1 і c1,...,cn−1. Тут рекурентне співвідношення набуває вигляду

Оскільки br і cr входять в K лише як добуток brcr, то без втрати загальності можна вважати, що всі br рівні 1.

Узагальнений котинуанти є визначником тридіагональної матриці

References

  • Thomas Muir (1960). A treatise on the theory of determinants. Dover Publications. с. 516–525. 
  • Cusick, Thomas W.; Flahive, Mary E. (1989). The Markoff and Lagrange Spectra. Mathematical Surveys and Monographs 30. Providence, RI: American Mathematical Society. с. 89. ISBN 0-8218-1531-8. Zbl 0685.10023. 
  • George Chrystal (1999). Algebra, an Elementary Text-book for the Higher Classes of Secondary Schools and for Colleges: Pt. 1. American Mathematical Society. с. 500. ISBN 0-8218-1649-7.