Відмінності між версіями «Кутовий коефіцієнт»

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Jump to navigation Jump to search
[перевірена версія][перевірена версія]
(Скасування редагування № 22345637 користувача 46.185.81.67 (обговорення))
(Мітка: Скасування)
м (Визначення: правопис)
 
(Не показано 4 проміжні версії 2 користувачів)
Рядок 1: Рядок 1:
 
[[Файл:Wiki_slope_in_2d.svg|right|thumb|Кутовий коефіцієнт:<math>k =\frac{\Delta y}{\Delta x}=\mathrm{tg}\,\theta </math>]]
 
[[Файл:Wiki_slope_in_2d.svg|right|thumb|Кутовий коефіцієнт:<math>k =\frac{\Delta y}{\Delta x}=\mathrm{tg}\,\theta </math>]]
   
''' Кутовий коефіцієнт [[Пряма|прямої ]]'''&nbsp;— коефіцієнт <math >k</math> у рівнянні прямої <math >y = kx + b</math> на [[ координатна площина | координатній площині]], чисельно дорівнює [[тангенс]]у [[кут]]а (що становить найменший поворот від осі Ox до осі Оу) між позитивним напрямом [[вісь абсцис|осі абсцис]] і даної [[пряма лінія|прямою лінією]].
+
'''Кутовий коефіцієнт [[Пряма|прямої ]]'''&nbsp;— коефіцієнт <math >k</math> у рівнянні прямої <math >y = kx + b</math> на [[ координатна площина | координатній площині]], чисельно дорівнює [[тангенс]]у [[кут]]а (що становить найменший поворот від осі Ox до осі Оу) між позитивним напрямом [[вісь абсцис|осі абсцис]] і даної [[пряма лінія|прямою лінією]].
   
Тангенс кута можна розраховувати як співвідношення [[протилежний катет|протилежного]] [[катет]]а до прилеглого. ''k'' завжди дорівнює <math>\frac{\Delta y}{\Delta x}</math>, тобто [[Похідна функції|похідній]] [[рівняння прямої]] по ''х''.
+
Тангенс кута можна розраховувати як співвідношення [[протилежний катет|протилежного]] [[катет]]а до прилеглого. Кутовий коефіцієнт ''k'' завжди дорівнює <math>\frac{\Delta y}{\Delta x}</math>, тобто [[Похідна функції|похідній]] [[рівняння прямої]] по ''х''.
   
 
Кутовий коефіцієнт не існує (або «прямує до [[нескінченність|нескінченності]]») у [[пряма|прямих]], що паралельні [[вісь ординат|осі ''Oy'']].
 
Кутовий коефіцієнт не існує (або «прямує до [[нескінченність|нескінченності]]») у [[пряма|прямих]], що паралельні [[вісь ординат|осі ''Oy'']].
   
За позитивних значень кутового коефіцієнта ''k'' й [[нуль]]ового значення [[коефіцієнт зсуву|коефіцієнта зсуву]] ''b'' пряма лежатиме у першому й третьому [[квадрант]]ах (у яких ''x'' та ''y'' одночасно є позитивні й негативні). Уодночас великим значенням кутового коефіцієнта ''k'' будуть відповідні крутіші прямі, а меншим&nbsp;— пологіші.
+
За позитивних значень кутового коефіцієнта ''k'' і нульового значення [[коефіцієнт зсуву|коефіцієнта зсуву]] ''b'' пряма лежатиме у першому й третьому [[квадрант]]ах (у яких ''x'' та ''y'' одночасно є позитивні й негативні). Водночас великим значенням кутового коефіцієнта ''k'' будуть відповідні крутіші прямі, а меншим&nbsp;— пологіші.
   
 
Прямі <math> y = k_1x + b_1 </math> і <math> y = k_2x + b_2 </math> є перпендикулярними, коли <math> k_1k_2 = -1 </math>, а паралельні за <math> k_1 = k_2 </math>.
 
Прямі <math> y = k_1x + b_1 </math> і <math> y = k_2x + b_2 </math> є перпендикулярними, коли <math> k_1k_2 = -1 </math>, а паралельні за <math> k_1 = k_2 </math>.
  +
  +
== Визначення ==
  +
Позначимо кутовий коефіцієнт прямої або нахил в системі координат, що містить осі ''x'' і ''y'', літерою ''m'', і визначимо як зміну координат відносно ''y'' осі по відношенню до зміни координат ''x'', між двома відмінними точками прямої. Задамо це наступним рівнянням:
  +
  +
: <math>m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{\text{зміна} \, \text{по вертикалі} }{\text{зміна} \, \text{по горизонталі} }.</math>
  +
(Грецька літера ''[[Дельта|дельта]]'', Δ, використовується в математиці для позначення «різниці» або «зміни».)
  +
  +
Для заданих двох точок (''x''<sub>1</sub>,''y''<sub>1</sub>) і (''x''<sub>2</sub>,''y''<sub>2</sub>), зміна координат ''x'' дорівнює {{nowrap|''x''<sub>2</sub> − ''x''<sub>1</sub>}} (''по горизонталі''), а зміна по ''y'' буде {{nowrap|''y''<sub>2</sub> − ''y''<sub>1</sub>}} (''по вертикалі''). Підставивши це в вищенаведене рівняння отримаємо формулу:
  +
: <math>m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}.</math>
  +
Формула не буде працювати для вертикальних прямих, таких що паралельні осі ''y'' (див. [[ділення на нуль]]), тоді кутовим коефіцієнт приймають за [[нескінченність]], тобто нахил вертикальної лінії вважають невизначеним.
  +
  +
=== Приклади ===
  +
Нехай є пряма, яка проходить крізь точки: ''P''&nbsp;=&nbsp;(1,&nbsp;2) і ''Q''&nbsp;=&nbsp;(13,&nbsp;8). Розділивши різницю ''y''-координат на різницю ''x''-координат, можна отримати кутовий коефіцієнт нахилу прямої:
  +
: <math>m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{8 - 2}{13 - 1} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}</math>.
  +
: Оскільки коефіцієнт є додатнім, нахил такий, що пряма зростає. Оскільки |m|&lt;1, зростання не круте.
  +
  +
Інший приклад, розглянемо пряму, що проходить крізь точки (4,&nbsp;15) і (3,&nbsp;21). Тоді, кутовий коефіцієнт прямої дорівнює
  +
: <math>m = \frac{ 21 - 15}{3 - 4} = \frac{6}{-1} = -6.</math>
  +
: Оскільки коефіцієнт від'ємний, напрям прямої є спадним. Оскільки |m|&gt;1, цей спад дуже крутий (спад &gt;45°).
  +
  +
== Нахил дороги чи залізничних колій ==
  +
{{Main|Похил (положення, покажчик крутизни)}}
  +
Існує два способи обрахунку нахилу [[Шлях (дорога)|шляху]] чи [[Залізнична колія|залізничної дороги]]. Перший це задати його за допомогою кута в діапазоні значень між 0° і 90° (в градусах), і інший спосіб задати нахил у процентах.
  +
  +
Формули для розрахунку для перерахунку нахилу в процентах у кут в градусах і навпаки, наведені нижче:
  +
:: <math>\text{кут} = \arctan \left( \frac{\text{нахил}}{100%} \right)</math>, (це обернена функція тангенса; див [[тригонометричні функції]]): і
  +
:: <math>\mbox{нахил} = 100\% \cdot \tan( \mbox{кут}),</math>
  +
де ''кут'' в градусах і тригонометрична функція також розраховується в градусах. Наприклад, нахил в 100[[Знак відсотка|%]] або 1000[[Проміле|‰]] буде дорівнювати куту в 45°.
  +
  +
Третім методом можна задати нахил за допомогою співвідношення до горизонтальної міри, наприклад 10, 20, 50 або 100, тобто 1:10. 1:20, 1:50 або 1:100 (або ''«1 до 10»'', ''«1 до 20»'' і&nbsp;т.&nbsp;д.) В даному прикладі 1:10 є більш крутим нахилом ніж 1:20. Наприклад, нахил в 20&nbsp;% означатиме 1:5 або кут в 11,3°.
  +
  +
В дорожніх знаках різних країн можуть використовуватися різного типу позначення.
  +
  +
<gallery>
  +
File:Nederlands verkeersbord J6.svg|Попереджувальний знак в [[Нідерланди|Нідерландах]]
  +
File:Znak A-23.svg|Попереджувальний знак крутої дороги в [[Польща|Польщі]]
  +
File:Skloník-klesání.jpg|Ділянка залізничного шляху довжиною в 1371 метри із нахилом в 20[[Проміле|‰]]. [[Чехія]]
  +
File:Railway gradient post.jpg|Залізничний Стовп-покажчик часів існування паровозів, що показує нахил в обох напрямках на {{нп|Залізнична станція Меолс|залізничній станції Меолс|en|Meols railway station}}, [[Велика Британія]]
  +
</gallery>
   
 
== Посилання ==
 
== Посилання ==
Рядок 16: Рядок 55:
 
{{Math-stub}}
 
{{Math-stub}}
   
[[Категорія:Геометрія]]
+
[[Категорія:Елементарна математика]]
  +
[[Категорія:Аналітична геометрія]]

Поточна версія на 19:26, 9 червня 2018

Кутовий коефіцієнт:

Кутовий коефіцієнт прямої  — коефіцієнт у рівнянні прямої на координатній площині, чисельно дорівнює тангенсу кута (що становить найменший поворот від осі Ox до осі Оу) між позитивним напрямом осі абсцис і даної прямою лінією.

Тангенс кута можна розраховувати як співвідношення протилежного катета до прилеглого. Кутовий коефіцієнт k завжди дорівнює , тобто похідній рівняння прямої по х.

Кутовий коефіцієнт не існує (або «прямує до нескінченності») у прямих, що паралельні осі Oy.

За позитивних значень кутового коефіцієнта k і нульового значення коефіцієнта зсуву b пряма лежатиме у першому й третьому квадрантах (у яких x та y одночасно є позитивні й негативні). Водночас великим значенням кутового коефіцієнта k будуть відповідні крутіші прямі, а меншим — пологіші.

Прямі і є перпендикулярними, коли , а паралельні за .

Визначення[ред.ред. код]

Позначимо кутовий коефіцієнт прямої або нахил в системі координат, що містить осі x і y, літерою m, і визначимо як зміну координат відносно y осі по відношенню до зміни координат x, між двома відмінними точками прямої. Задамо це наступним рівнянням:

(Грецька літера дельта, Δ, використовується в математиці для позначення «різниці» або «зміни».)

Для заданих двох точок (x1,y1) і (x2,y2), зміна координат x дорівнює x2x1 (по горизонталі), а зміна по y буде y2y1 (по вертикалі). Підставивши це в вищенаведене рівняння отримаємо формулу:

Формула не буде працювати для вертикальних прямих, таких що паралельні осі y (див. ділення на нуль), тоді кутовим коефіцієнт приймають за нескінченність, тобто нахил вертикальної лінії вважають невизначеним.

Приклади[ред.ред. код]

Нехай є пряма, яка проходить крізь точки: P = (1, 2) і Q = (13, 8). Розділивши різницю y-координат на різницю x-координат, можна отримати кутовий коефіцієнт нахилу прямої:

.
Оскільки коефіцієнт є додатнім, нахил такий, що пряма зростає. Оскільки |m|<1, зростання не круте.

Інший приклад, розглянемо пряму, що проходить крізь точки (4, 15) і (3, 21). Тоді, кутовий коефіцієнт прямої дорівнює

Оскільки коефіцієнт від'ємний, напрям прямої є спадним. Оскільки |m|>1, цей спад дуже крутий (спад >45°).

Нахил дороги чи залізничних колій[ред.ред. код]

Існує два способи обрахунку нахилу шляху чи залізничної дороги. Перший це задати його за допомогою кута в діапазоні значень між 0° і 90° (в градусах), і інший спосіб задати нахил у процентах.

Формули для розрахунку для перерахунку нахилу в процентах у кут в градусах і навпаки, наведені нижче:

, (це обернена функція тангенса; див тригонометричні функції): і

де кут в градусах і тригонометрична функція також розраховується в градусах. Наприклад, нахил в 100% або 1000 буде дорівнювати куту в 45°.

Третім методом можна задати нахил за допомогою співвідношення до горизонтальної міри, наприклад 10, 20, 50 або 100, тобто 1:10. 1:20, 1:50 або 1:100 (або «1 до 10», «1 до 20» і т. д.) В даному прикладі 1:10 є більш крутим нахилом ніж 1:20. Наприклад, нахил в 20 % означатиме 1:5 або кут в 11,3°.

В дорожніх знаках різних країн можуть використовуватися різного типу позначення.

Посилання[ред.ред. код]