Кутовий коефіцієнт

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
Кутовий коефіцієнт:

Кутовий коефіцієнт прямої  — коефіцієнт у рівнянні прямої на координатній площині, чисельно дорівнює тангенсу кута (що становить найменший поворот від осі Ox до осі Оу) між позитивним напрямом осі абсцис і даної прямою лінією.

Тангенс кута можна розраховувати як співвідношення протилежного катета до прилеглого. Кутовий коефіцієнт k завжди дорівнює , тобто похідній рівняння прямої по х.

Кутовий коефіцієнт не існує (або «прямує до нескінченності») у прямих, що паралельні осі Oy.

За позитивних значень кутового коефіцієнта k і нульового значення коефіцієнта зсуву b пряма лежатиме у першому й третьому квадрантах (у яких x та y одночасно є позитивні й негативні). Водночас великим значенням кутового коефіцієнта k будуть відповідні крутіші прямі, а меншим — пологіші.

Прямі і є перпендикулярними, коли , а паралельні за .

Визначення[ред. | ред. код]

Позначимо кутовий коефіцієнт прямої або нахил в системі координат, що містить осі x і y, літерою m, і визначимо як зміну координат відносно y осі по відношенню до зміни координат x, між двома відмінними точками прямої. Задамо це наступним рівнянням:

(Грецька літера дельта, Δ, використовується в математиці для позначення «різниці» або «зміни».)

Для заданих двох точок (x1,y1) і (x2,y2), зміна координат x дорівнює x2x1 (по горизонталі), а зміна по y буде y2y1 (по вертикалі). Підставивши це в вищенаведене рівняння отримаємо формулу:

Формула не буде працювати для вертикальних прямих, таких що паралельні осі y (див. ділення на нуль), тоді кутовим коефіцієнт приймають за нескінченність, тобто нахил вертикальної лінії вважають невизначеним.

Приклади[ред. | ред. код]

Нехай є пряма, яка проходить крізь точки: P = (1, 2) і Q = (13, 8). Розділивши різницю y-координат на різницю x-координат, можна отримати кутовий коефіцієнт нахилу прямої:

.
Оскільки коефіцієнт є додатнім, нахил такий, що пряма зростає. Оскільки |m|<1, зростання не круте.

Інший приклад, розглянемо пряму, що проходить крізь точки (4, 15) і (3, 21). Тоді, кутовий коефіцієнт прямої дорівнює

Оскільки коефіцієнт від'ємний, напрям прямої є спадним. Оскільки |m|>1, цей спад дуже крутий (спад >45°).

Нахил дороги чи залізничних колій[ред. | ред. код]

Існує два способи обрахунку нахилу шляху чи залізничної дороги. Перший це задати його за допомогою кута в діапазоні значень між 0° і 90° (в градусах), і інший спосіб задати нахил у процентах.

Формули для розрахунку для перерахунку нахилу в процентах у кут в градусах і навпаки, наведені нижче:

, (це обернена функція тангенса; див тригонометричні функції): і

де кут в градусах і тригонометрична функція також розраховується в градусах. Наприклад, нахил в 100% або 1000 буде дорівнювати куту в 45°.

Третім методом можна задати нахил за допомогою співвідношення до горизонтальної міри, наприклад 10, 20, 50 або 100, тобто 1:10. 1:20, 1:50 або 1:100 (або «1 до 10», «1 до 20» і т. д.) В даному прикладі 1:10 є більш крутим нахилом ніж 1:20. Наприклад, нахил в 20 % означатиме 1:5 або кут в 11,3°.

В дорожніх знаках різних країн можуть використовуватися різного типу позначення.

Посилання[ред. | ред. код]