Відмінності між версіями «Лема Гронуолла—Беллмана»

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
[неперевірена версія][неперевірена версія]
(→‎Доведення: Виправлена описка)
Мітки: Редагування з мобільної програмки, Редагування з мобільного пристрою
Рядок 47: Рядок 47:
 
то, інтегруючи нерівність (3) в межах від <math>\quad t_0</math> до <math>\quad t</math>, матимемо
 
то, інтегруючи нерівність (3) в межах від <math>\quad t_0</math> до <math>\quad t</math>, матимемо
   
:<math>\ln \bigg[ c \, + \, \int_{t_0}^{t}\, f(\tau) \, u(\tau) \, d\tau\bigg] \, - \, \ln c \, \leqslant \, \int_{t_0}^{t} \, f(\tau) \, u(\tau) \, d\tau.</math>
+
:<math>\ln \bigg[ c \, + \, \int_{t_0}^{t}\, f(\tau) \, u(\tau) \, d\tau\bigg] \, - \, \ln c \, \leqslant \, \int_{t_0}^{t} \, f(\tau) \, d\tau.</math>
   
 
Звідси, використовуючи нерівність (1), отримуємо
 
Звідси, використовуючи нерівність (1), отримуємо

Версія за 10:37, 20 квітня 2018

Лема Гронуолла—Беллманалема про інтегральні (диференціальні) нерівності[1][2]. Використовується для встановлення різноманітних оцінок в теорії звичайних диференціальних рівнянь та стохастичних диференціальних рівнянь. Зокрема, вона використовується при доведені єдиності розв'язку задачі Коші для звичайного диференціального рівняння.

Формулювання

В інтегральній формі.

Нехай

причому при виконується нерівність:

де — деяка додатна константа. Тоді для довільного виконується оцінка

В диференціальні формі.

Нехай

причому при виконується нерівність:

Тоді для довільного виконується оцінка

Зауваження. В цьому випадку немає жодних припущень на знак функцій , але вимагається диференційовність функції .

Доведення

Із нерівності (1) отримуємо

та

Оскільки

то, інтегруючи нерівність (3) в межах від до , матимемо

Звідси, використовуючи нерівність (1), отримуємо

що й треба було довести.

Примітки

  1. Беллман Р., Теория устойчивости решений диференциальных уравнений, ИЛ, 1954
  2. Bihari J., A genralizatial of differential equations, Acta math. Acad. Scient. Hung. VII, 1 (1956), 81-94

Джерела

  1. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: «Наука», 1967. (рос.)