Відмінності між версіями «Метричний простір»

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
[неперевірена версія][неперевірена версія]
Рядок 1: Рядок 1:
 
'''Метричний простір''' — це пара (<math>X,d</math>), яка складається з деякої [[множина|множини]] <math>X</math> елементів і [[відстань|відстані]] <math>d</math>, визначеної для будь-якої пари елементів цієї множини.
 
'''Метричний простір''' — це пара (<math>X,d</math>), яка складається з деякої [[множина|множини]] <math>X</math> елементів і [[відстань|відстані]] <math>d</math>, визначеної для будь-якої пари елементів цієї множини.
 
== Формальне визначення ==
 
== Формальне визначення ==
'''Метричним простором''' називається пара <math>(X,d)</math>, яка складається з деякої множини елементів <math>X</math> і відстані <math>d\colon X\times X\to\R</math>, а саме однозначної невід’ємної, дійсної функції <math>d(x,y)</math>, визначеної для <math>\forall x,y\in X</math>, яка задовільняє наступні 3 аксіоми:
+
'''Метричним простором''' називається пара <math>(X,d)</math>, яка складається з деякої множини елементів <math>X</math> і відстані <math>d\colon X\times X\to\R</math>, а саме однозначної, невід’ємної, дійсної функції <math>d(x,y)</math>, визначеної для <math>\forall x,y\in X</math>, яка задовільняє наступні 3 аксіоми:
 
# <math>d(x,\;y)=0\Leftrightarrow x=y</math> (''аксіома тотожості'').
 
# <math>d(x,\;y)=0\Leftrightarrow x=y</math> (''аксіома тотожості'').
 
# <math>d(x,\;y)=d(y,\;x)</math> (''аксіома симетрії'').
 
# <math>d(x,\;y)=d(y,\;x)</math> (''аксіома симетрії'').
 
# <math>d(x,\;z)\leqslant d(x,\;y)+d(y,\;z)</math> ([[нерівність трикутника]]).
 
# <math>d(x,\;z)\leqslant d(x,\;y)+d(y,\;z)</math> ([[нерівність трикутника]]).
  +
Невід’ємність доводиться за допомогою наступних міркувань:
  +
:<math>0=d(x,x)\leqslant d(x,y)+d(y,x)=2d(x,y)</math>
   
 
==Топологія породжена метрикою==
 
==Топологія породжена метрикою==

Версія за 12:28, 26 червня 2011

Метричний простір — це пара (), яка складається з деякої множини елементів і відстані , визначеної для будь-якої пари елементів цієї множини.

Формальне визначення

Метричним простором називається пара , яка складається з деякої множини елементів і відстані , а саме однозначної, невід’ємної, дійсної функції , визначеної для , яка задовільняє наступні 3 аксіоми:

  1. (аксіома тотожості).
  2. (аксіома симетрії).
  3. (нерівність трикутника).

Невід’ємність доводиться за допомогою наступних міркувань:

Топологія породжена метрикою

Кожна метрика породжує топологію базою, що складається з відкритих куль метричного простору. Породжена топологія задовільняє багатьом хорошим умовам, як наприклад всі аксіоми віддільності.

Приклади

Дивіться також

Література

  1. С. Т. Завало (1972). Елементи аналізу. Алгебра многочленів. Київ: Радянська школа. 
  2. П. І. Голод; А. У. Клімик (1992). Математичні основи теорії симетрій (українська). Київ: Наукова Думка. ISBN 5-12-002743-1.