Відмінності між версіями «Метричний простір»

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
[неперевірена версія][неперевірена версія]
Рядок 19: Рядок 19:
 
# Множина впрядкованих груп з n дійсних чисел з відстанню </br> <math>d(x,\;y)=(\sum_{k=1}^n |y_k-x_k|^p)^{1/p}</math>,</br> де <math>p</math> - будь-яке фіксоване число <math>\geq 1</math>. Цей простір позначимо <math>\mathbb{R}^n_p</math>
 
# Множина впрядкованих груп з n дійсних чисел з відстанню </br> <math>d(x,\;y)=(\sum_{k=1}^n |y_k-x_k|^p)^{1/p}</math>,</br> де <math>p</math> - будь-яке фіксоване число <math>\geq 1</math>. Цей простір позначимо <math>\mathbb{R}^n_p</math>
   
== Метричні простори і аксіоми зчисленності ==
+
== Метричні простори та аксіоми зчисленності ==
 
1. Будь-який метричний простір задовільняє [[перша аксіома зліченності|першу аксіому зчисленності]].
 
1. Будь-який метричний простір задовільняє [[перша аксіома зліченності|першу аксіому зчисленності]].
 
{{Hider|title=Доведення|content=
 
{{Hider|title=Доведення|content=
Рядок 28: Рядок 28:
 
Зчисленну базу топології такого простору утворюють, наприклад, наступні відкриті кулі: <math>U(x_n,{1 \over m}), n,m\in \N</math>, де <math>{\;x_n}</math> - зчисленна скрізь [[щільна множина|щільна множина]], а змінні <math>m,\;n</math> пробігають всі натуральні числа незалежно одна від одної.
 
Зчисленну базу топології такого простору утворюють, наприклад, наступні відкриті кулі: <math>U(x_n,{1 \over m}), n,m\in \N</math>, де <math>{\;x_n}</math> - зчисленна скрізь [[щільна множина|щільна множина]], а змінні <math>m,\;n</math> пробігають всі натуральні числа незалежно одна від одної.
 
|hidden=1}}
 
|hidden=1}}
  +
 
==Топологія породжена метрикою==
 
==Топологія породжена метрикою==
 
Кожна метрика породжує топологію [[База топології|базою]], що складається з [[Відкрита множина|відкритих]] куль метричного простору.
 
Кожна метрика породжує топологію [[База топології|базою]], що складається з [[Відкрита множина|відкритих]] куль метричного простору.

Версія за 17:20, 26 червня 2011

Метричний простір — це пара (), яка складається з деякої множини елементів і відстані , визначеної для будь-якої пари елементів цієї множини.

Формальне визначення

Метричним простором називається пара , яка складається з деякої множини елементів і відстані , а саме однозначної, невід'ємної, дійсної функції , визначеної для , яка задовільняє наступні 3 аксіоми:

  1. (аксіома тотожості).
  2. (аксіома симетрії).
  3. (нерівність трикутника).

Невід'ємність доводиться за допомогою наступних міркувань:

Приклади метричних просторів

  1. Простір ізольованих точок
  2. Множина дійсних чисел утворює метричний простір
  3. Множина впорядкованих груп з n дійсних чисел з відстанню

    називається n-вимірним арифметичним евклідовим простором .
  4. Ту саму множину впорядкованих груп з n дійсних чисел , але з відстанню

    позначимо простором .
  5. Знову візьмемо ту саму множину, що в прикладах 3 і 4, і визначимо відстань між його елементами формулою:

    Цей простір в багатьох питаннях аналізу не менш зручний, ніж евклідовий простір .
  6. Множина всіх неперервних дійсних функцій, визначених на проміжку з відстанню
  7. Позначимо через метричний простір, точками якого слугують всі можливі послідовності дійсних чисел, що задовільняють умові: , а відстань визначається формулою:
  8. Розглянемо, як і в прикладі 6, сукупність усіх функцій, неперервних на відрізку , але відстань визначимо по-іншому, а саме:

    Такий метричний простір позначимо і будемо називати простором неперервних функцій з квадратичною метрикою.
  9. Розглянувши множину усіх обмежених послідовностей дійсних чисел, отримаємо простір з метрикою:
  10. Множина впрядкованих груп з n дійсних чисел з відстанню
    ,
    де - будь-яке фіксоване число . Цей простір позначимо

Метричні простори та аксіоми зчисленності

1. Будь-який метричний простір задовільняє першу аксіому зчисленності.

2. Якщо метричний простір сепарабельний, то він задовільняє другу аксіому зчисленності.

Топологія породжена метрикою

Кожна метрика породжує топологію базою, що складається з відкритих куль метричного простору. Породжена топологія задовільняє багатьом хорошим умовам, як наприклад всі аксіоми віддільності.

Приклади

Дивіться також

Література

  1. С. Т. Завало (1972). Елементи аналізу. Алгебра многочленів. Київ: Радянська школа. 
  2. П. І. Голод; А. У. Клімик (1992). Математичні основи теорії симетрій (українська). Київ: Наукова Думка. ISBN 5-12-002743-1.