Метричний простір

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Метричний простір — це пара (), яка складається з деякої множини елементів і відстані , визначеної для будь-якої пари елементів цієї множини.

Формальне визначення

Метричним простором називається пара , яка складається з деякої множини елементів і відстані , а саме однозначної, невід'ємної, дійсної функції , визначеної для , яка задовільняє наступні 3 аксіоми:

  1. (аксіома тотожості).
  2. (аксіома симетрії).
  3. (нерівність трикутника).

Невід'ємність доводиться за допомогою наступних міркувань:

Приклади метричних просторів

  1. Простір ізольованих точок
  2. Множина дійсних чисел утворює метричний простір
  3. Множина впорядкованих груп з n дійсних чисел з відстанню

    називається n-вимірним арифметичним евклідовим простором .
  4. Ту саму множину впорядкованих груп з n дійсних чисел , але з відстанню

    позначимо простором .
  5. Знову візьмемо ту саму множину, що в прикладах 3 і 4, і визначимо відстань між його елементами формулою:

    Цей простір в багатьох питаннях аналізу не менш зручний, ніж евклідовий простір .
  6. Множина всіх неперервних дійсних функцій, визначених на проміжку з відстанню
  7. Позначимо через метричний простір, точками якого слугують всі можливі послідовності дійсних чисел, що задовільняють умові: , а відстань визначається формулою:
  8. Розглянемо, як і в прикладі 6, сукупність усіх функцій, неперервних на відрізку , але відстань визначимо по-іншому, а саме:

    Такий метричний простір позначимо і будемо називати простором неперервних функцій з квадратичною метрикою.
  9. Розглянувши множину усіх обмежених послідовностей дійсних чисел, отримаємо простір з метрикою:
  10. Множина впрядкованих груп з n дійсних чисел з відстанню
    ,
    де - будь-яке фіксоване число . Цей простір позначимо

Метричні простори та аксіоми зчисленності

1. Будь-який метричний простір задовільняє першу аксіому зчисленності.

2. Якщо метричний простір сепарабельний, то він задовільняє другу аксіому зчисленності.

Топологія породжена метрикою

Кожна метрика породжує топологію базою, що складається з відкритих куль метричного простору. Породжена топологія задовільняє багатьом хорошим умовам, як наприклад всі аксіоми віддільності.

Гомеоморфізм. Ізоморфізм

Якщо відображення взаємно однозначне, то існує обернене відображення простору на простір . Якщо відображення взаємно однозначне і взаємно неперервне, то воно називається гомеоморфним відображенням або гомеоморфізмом, а самі простори та , між якими можно встановити гомеоморфізм, називаються гомеоморфними між собою. Важливим окремим випадком гомеоморфізму є так зване ізометричне відображення.

Кажуть, що бієкція між метричними просторами є ізометрією, якщо . Простори і , між якими можна встановити ізометричне співвідношення, називаються ізометричними.

Ізометрія просторів означає, що метричні зв'язки між їх елементами одні і ті ж самі; різною може бути лише природа їх елементів, що з точки зору теорії метричних просторів несуттєве. Ізометричні між собою простори можна розглядати як тотожні.

Приклади

Дивіться також

Література

  1. С. Т. Завало (1972). Елементи аналізу. Алгебра многочленів. Київ: Радянська школа. 
  2. П. І. Голод; А. У. Клімик (1992). Математичні основи теорії симетрій (українська). Київ: Наукова Думка. ISBN 5-12-002743-1.