Метричний тензор: відмінності між версіями

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
[неперевірена версія][неперевірена версія]
м (робот додав: bg, cs, de, en, es, fi, fr, hu, it, ja, ko, nl, pl, pt, ru, sv, ur, zh)
Рядок 38: Рядок 38:


[[Категорія:Диференціальна геометрія]]
[[Категорія:Диференціальна геометрія]]

[[bg:Метричен тензор]]
[[cs:Metrický tenzor]]
[[de:Metrischer Tensor]]
[[en:Metric tensor]]
[[es:Tensor métrico]]
[[fi:Metrinen tensori]]
[[fr:Tenseur métrique]]
[[hu:Metrikus tenzor]]
[[it:Tensore metrico]]
[[ja:計量テンソル]]
[[ko:계량 텐서]]
[[nl:Metrische tensor]]
[[pl:Tensor metryczny]]
[[pt:Tensor métrico]]
[[ru:Метрический тензор]]
[[sv:Metrisk tensor]]
[[ur:بحر (موترہ)]]
[[zh:度量张量]]

Версія за 03:11, 3 березня 2009

Геометричні вимірювання в координатах

Величини, які стосуються геометрії - це відстані, довжини кривих, площі та об'єми (в тому числі -вимірні об'єми) геометричних фігур, а також кути між векторами, прямими і т.д. Розглянемо спочатку прямокутну декартову систему координат в -вимірному просторі. Як відомо з аналітичної геометрії, квадрат відстані між двома точками і дається наступною формулою, яка є узагальненням теореми Піфагора:

де індексами внизу позначено, до якої точки дана координата відноситься.

Ми не можемо безпосередньо поширити формулу (1) на вимірювання довжин кривих (оскільки довжина залежить не тільки від положення двох крайніх точок, але і від положення усіх проміжних точок), а також для вимірювання всередині кривих многовидів (оскільки в них навіть не існує декартової системи координат). Але в обох цих випадках аналогічну формулу ми можемо написати для двох нескінченно близьких точок. Позначимо їх - точка з координатами і точка з координатами . Відстань між цими точками позначимо , тоді формула (1) в нових позначеннях (диференціалах) перепишеться так:

Якщо від прямокутної декартової системи координат перейти в будь-яку іншу, в загальному випадку криволінійну, то вид формули (2) як суми квадратів не збережеться. Позначимо координати нової системи . Тоді диференціали старих і нових координат пов'язані формулами:

і для квадрат\а відстані (2) ми одержуємо квадратичну форму щодо диференціалів нових координат:

де коефіцієнти дорівнюють сумі:

В формулах (3), (4) всі суми беруться по індексах, що повторюються в межах від першого (1) до останнього індекса (). Тому для спрощення виду формул доцільно в цих формулах не писати знак суми (правило Ейнштейна). З використанням правила Ейнштейна формула (4) запишеться так:

Вимірювання відстані на многовиді, вміщеному в евклідовий простір

Нехай маємо -вимірний евклідовий простір з координатами . Радіус-вектор точки позначимо через :

Розглянемо в цьому просторі -вимірний многовид, заданий параметрично через . Точки многовида визначаються через деякі функції радіус-вектора від цих параметрів:

Тоді дві близькі точки многовида утворюють вектор зміщення:

а квадрат відстані дорівнює скалярному квадрату вектора зміщення:

Тобто ми знову отримали формулу (6), але коефіцієнти даються іншими аніж (5) по виду, але аналогічними формулами:


Дивіться також: Метрика простору-часу