Мінор матриці

Мінором $\ k$-го порядку матриці $\ A$ називається визначник матриці, утворений елементами на перетині $\ k$ стовпців та $\ k$ рядків.

Визначення

Нехай $\ A=(a_{ij})$ — матриця розміру $\ m\times n$, в якій вибрано довільні $\ k$ $(k\leqslant n,k\leqslant m)$

• рядків з номерами $\ i_{1}<i_{2}<\ldots <i_{k}$ та
• стовпців з номерами $\ j_{1}<j_{2}<\ldots <j_{k}.$

Елементи, що знаходяться на перетині обраних рядків та стовпців утворюють квадратну матрицю порядку $\ k$.

Мінор

Визначник матриці, яка одержується з $\ A$ викреслюванням всіх рядків та стовпців, окрім вибраних, називається мінором $\ k$-го порядку, розташованим в рядках з номерами $\ i_{1},i_{2},\ldots ,i_{k}$ та стовпцях з номерами $\ j_{1},j_{2},\ldots ,j_{k}$.

$M_{j_{1},\ldots ,j_{k}}^{i_{1},\ldots ,i_{k}}=\det {\begin{pmatrix}a_{i_{1}j_{1}}&a_{i_{1}j_{2}}&\ldots &a_{i_{1}j_{k}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{i_{k}j_{1}}&a_{i_{k}j_{2}}&\ldots &a_{i_{k}j_{k}}\end{pmatrix}}.$

Доповнювальний мінор

Визначник матриці, яка одержується викреслюванням тільки вибраних рядків та стовпців з матриці $\ A,$ у випадку коли отримана матриця буде квадратною, називається доповнювальним мінором до мінору $M_{j_{1},\ldots ,j_{k}}^{i_{1},\ldots ,i_{k}}$

${\overline {M}}_{\,j_{1},\ldots ,j_{k}}^{\,i_{1},\ldots ,i_{k}}=\det {\begin{pmatrix}a_{i_{k+1}j_{k+1}}&a_{i_{k+1}j_{k+2}}&\ldots &a_{i_{k+1}j_{n}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{i_{n}j_{k+1}}&a_{i_{n}j_{k+2}}&\ldots &a_{i_{n}j_{n}}\end{pmatrix}},$

де $\ i_{k+1}<\ldots <i_{n}$ та $\ j_{k+1}<\ldots <j_{n}$ — номери не вибраних рядків і стовпців.

Мінор елемента

Мінором $\ M_{ij}$ елемента $\ a_{ij}$ квадратної матриці $\ A$ порядку $\ n$ називається визначник (n-1) порядку, який одержуємо з визначника $\ |A|$ n-го порядку шляхом викреслювання і-го рядка та j-го стовпця, на перетині яких знаходиться елемент $\ a_{ij}.$

Оточуючий мінор

Нехай $\ \Delta _{k}$ — деякий мінор порядку $\ k$ матриці $\ A$. Мінор порядку $\ k+1$ матриці називається оточуючим для мінора $\ \Delta _{k}$, якщо його матриця містить в собі матрицю мінору $\ \Delta _{k}$. Таким чином, оточуючий мінор для мінора $\ \Delta _{k}$ можна одержати дописуючи до нього один рядок і один стовпчик.

Базисний мінор

Базисним мінором ненульової матриці $A$ (існує ненульовий елемент) називається мінор, який не дорівнює нулю, а всі його оточуючі мінори дорівнюють нулю, або їх не існує.

Доведення існування базисного мінора: утворимо мінор з єдиного ненульового елемента і будемо рекурсивно шукати ненульові оточуючі мінори аж до найбільшого.

Зауваження. В загальному випадку в матриці може існувати багато базисних мінорів.

Розмір базисного мінора матриці називається рангом матриці.

Теорема Лапласа

Нехай $\ A=(a_{ij})$ — квадратна матриця розміру $\ n\times n,$ в якій вибрано довільні $\ k$ рядків.

Тоді визначник матриці $\ A$ рівний сумі всіляких добутків мінорів $\ k$-го порядку, розташованих в цих рядках, на їх алгебраїчні доповнення.

$\det A=\sum _{j_{1}<\ldots <j_{k}}M_{j_{1},\ldots ,j_{k}}^{i_{1},\ldots ,i_{k}}A_{j_{1},\ldots ,j_{k}}^{i_{1},\ldots ,i_{k}},$

де підсумовування ведеться по всіх номерах стовпців $\ j_{1},\ldots ,j_{k}.$

Число мінорів, по яких береться сума в теоремі Лапласа, рівне числу способів вибрати $k$ стовпців з $n$, тобто біноміальному коефіцієнту $\textstyle {n \choose k}$.

Оскільки рядки і стовпці матриці рівносильні щодо властивостей визначника, теорему Лапласа можна сформулювати і для стовпців матриці.

Теорема про базисний мінор

1. Рядки ненульової матриці $\ A$ на яких будується її базисний мінор $\ \Delta _{r}$ є лінійно незалежними.
2. Всі інші рядки матриці лінійно виражаються через них.

Приклади

• Розглянемо матрицю $A$ розміру $\ m\times n$:

$A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&\cdots &a_{2n}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&\cdots &a_{3n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{pmatrix}},\qquad M_{2,3}^{1,2}={\begin{array}{|cc|}a_{12}&a_{13}\\a_{22}&a_{23}\\\end{array}}$ — мінор 2-го порядку.

Таких мінорів можна скласти ${C_{m}^{k}}{C_{n}^{k}}$ штук.

• Мінор $\ M_{23}$ квадратної матриці $\ A$ — визначник матриці, отриманий шляхом викреслювання рядка 2 та стовпчика 3:

$A={\begin{pmatrix}\,\,\,1&4&7\,\\\,\,\,3&0&5\,\\-1&9&\!11\,\\\end{pmatrix}},\qquad M_{23}={\begin{vmatrix}\,\,1&4&\Box \,\\\,\Box &\Box &\Box \,\\-1&9&\Box \,\\\end{vmatrix}}$ $\longrightarrow$ ${\begin{vmatrix}\,\,\,1&4\,\\-1&9\,\\\end{vmatrix}}=\left(9-\left(-4\right)\right)=13.$

Див. також

• Теорія матриць
• Матриця (математика)
• Визначник матриці
• Ранг матриці
• Формула Біне — Коші

Джерела

• Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 2 изд. — Москва : Наука, 1967. — 576 с. — ISBN 5-9221-0524-8.(рос.)
• С.С.Шестаков, С.І.Доценко. Визначники, матриці та системи лінійних рівнянь. Курс лекцій з алгебри для студентів факультету кібернетики.