Мінор матриці
Мінором -го порядку матриці називається визначник матриці, утворений елементами на перетині стовпців та рядків.
Зміст
Визначення[ред. | ред. код]
Нехай — матриця розміру , в якій вибрано довільні
- рядків з номерами та
- стовпців з номерами
Елементи, що знаходяться на перетині обраних рядків та стовпців утворюють квадратну матрицю порядку .
Мінор[ред. | ред. код]
Визначник матриці, яка одержується з викреслюванням всіх рядків та стовпців, окрім вибраних, називається мінором -го порядку, розташованим в рядках з номерами та стовпцях з номерами .
Доповнювальний мінор[ред. | ред. код]
Визначник матриці, яка одержується викреслюванням тільки вибраних рядків та стовпців з матриці у випадку коли отримана матриця буде квадратною, називається доповнювальним мінором до мінору
- де та — номери не вибраних рядків і стовпців.
Мінор елемента[ред. | ред. код]
Мінором елемента квадратної матриці порядку називається визначник (n-1) порядку, який одержуємо з визначника n-го порядку шляхом викреслювання і-го рядка та j-го стовпця, на перетині яких знаходиться елемент
Оточуючий мінор[ред. | ред. код]
Нехай — деякий мінор порядку матриці . Мінор порядку матриці називається оточуючим для мінора , якщо його матриця містить в собі матрицю мінору . Таким чином, оточуючий мінор для мінора можна одержати дописуючи до нього один рядок і один стовпчик.
Базисний мінор[ред. | ред. код]
Базисним мінором ненульової матриці (існує ненульовий елемент) називається мінор, який не дорівнює нулю, а всі його оточуючі мінори дорівнюють нулю, або їх не існує.
Доведення існування базисного мінора: утворимо мінор з єдиного ненульового елемента і будемо рекурсивно шукати ненульові оточуючі мінори аж до найбільшого.
Зауваження. В загальному випадку в матриці може існувати багато базисних мінорів.
Розмір базисного мінора матриці називається рангом матриці.
Теорема Лапласа[ред. | ред. код]
Нехай — квадратна матриця розміру в якій вибрано довільні рядків.
Тоді визначник матриці рівний сумі всіляких добутків мінорів -го порядку, розташованих в цих рядках, на їх алгебраїчні доповнення.
- де підсумовування ведеться по всіх номерах стовпців
Число мінорів, по яких береться сума в теоремі Лапласа, рівне числу способів вибрати стовпців з , тобто біноміальному коефіцієнту .
Оскільки рядки і стовпці матриці рівносильні щодо властивостей визначника, теорему Лапласа можна сформулювати і для стовпців матриці.
Теорема про базисний мінор[ред. | ред. код]
- Рядки ненульової матриці на яких будується її базисний мінор є лінійно незалежними.
- Всі інші рядки матриці лінійно виражаються через них.
Приклади[ред. | ред. код]
- Розглянемо матрицю розміру :
- — мінор 2-го порядку.
- Таких мінорів можна скласти штук.
- Мінор квадратної матриці — визначник матриці, отриманий шляхом викреслювання рядка 2 та стовпчика 3:
Див. також[ред. | ред. код]
Джерела[ред. | ред. код]
- Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 2 изд. — Москва : Наука, 1967. — 576 с. — ISBN 5-9221-0524-8.(рос.)
- С.С.Шестаков, С.І.Доценко. Визначники, матриці та системи лінійних рівнянь. Курс лекцій з алгебри для студентів факультету кібернетики.