Напівнеперервна функція

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
напівнеперервна зверху функція.
напівнеперервна знизу функція.

Напівнеперервність в математичному аналізі — це властивість функції більш слабка, ніж неперервність. Функція є напівнеперервною зверху в точці, якщо значення функції в близьких точках є близькими або меншими від значення значення функції в ній. Функція є напівнеперервною знизу в точці, якщо значення функції в близьких точках є близькими або більшими значення функції в ній.

Визначення

Нехай  — топологічний простір, і функція зі значеннями у множині розширених дійсних чисел.

Функція називається неперервною зверху (знизу) в точці якщо для довільного існує окіл точки такий, що якщо, і прямує до коли прямує до якщо .

У випадку метричного простору ці умови можна записати так

де позначає точну верхню границю.

Функція називається напівнеперервною зверху (знизу) на , якщо вона є напівнеперервною зверху (знизу) для всіх .

Альтернативно функція є напівнеперервною зверху (знизу) на якщо множина є відкритою. Ввівши в множині дійсних чисел топологію для топологічного простору маємо, що функція є напівнеперервною зверху, тоді і тільки тоді коли вона є неперервною в новій топології дійсних чисел: . Для подібного визначення неперервності знизу для дійсних чисел слід ввести топологію Дані означення можна узагальнити на довільну лінійно впорядковану множину з подібним визначенням топології.

Приклади

є напівнеперервною взверху в точці x = 0.

  • Індикатор довільної відкритої множини є напівнеперервною знизу функцією.
  • Індикатор довільної замкнутої множини є напівнеперервною зверху функцією.
  • Нехай  — система звичайних диференціальних рівнянь (y — вектор порядку n). Нехай функція F визначена на множині і для кожної точки існує єдиний максимальний розв'язок системи рівнянь , визначений на проміжку Числа загалом залежать від початкових умов і можна визначити функції Тоді функція є напівнеперервною зверху на множині E, а функція є напівнеперервною знизу на множині E[1].

Властивості

  • Функція є неперервною тоді й лише тоді коли вона є одночасно напівнеперервною зверху і знизу.
  • Якщо є напівнеперервною зверху, то функція -f є напівнеперервною знизу і навпаки.
  • Нехай є дві напівнеперервні знизу (зверху) функції. Тоді їх сума також напівнеперервна знизу (зверху). Якщо напівнеперервні зверху функції є невідємними в точці то їх добуток теж буде напівнеперервним зверху.
  • Якщо  — напівнеперервні зверху функції дійсної змінної і g також неспадна, то функція є також напівнеперервною зверху.
  • Межа монотонно зростаючої (спадної) послідовності напівнеперервних знизу (зверху) в точці функцій є напівнеперервною знизу (зверху) функцією в . Більш точно, нехай дано послідовність напівнеперервних знизу (зверху) функцій таких, що Тоді якщо існує межа то напівнеперервна знизу (зверху).
  • Якщо і є напівнеперервні функції відповідно знизу і зверху , і на всьому просторі виконано

то існує неперервна функція , така що

  • Нехай дано компактну множину Тоді напівнеперервна знизу (зверху) функція досягає на свого мінімуму (максимуму).
  • Теорема Віталі — Каратеодорі. Якщо — невід'ємні міра на , то для будь-якої -вимірної функції існують дві послідовності функцій і , що задовольняють умовам:
  1. — напівнеперервні знизу, — напівнеперервні зверху,
  2. кожна функція є обмеженою знизу, кожна функція — зверху,
  3. послідовність незростаюча, послідовність неспадна,
  4. -майже всюди.
  5. якщо для функція є інтегровною за Лебегом на (), то також і

Примітки

  1. Hartman, Philip (2002), Ordinary Differential Equations, Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics, ISBN 978-0-89871-510-1, ст. 94-95.(англ.)

Література