Непарна функція

Приклад непарної функції: f(x) = x³.

Непа́рна фу́нкція — функція $f:X\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R}$, визначена на симетричній (відносно початку координат) множині $X$, яка змінює знак при зміні знаку аргумента, тобто:

$f(-x)=-f(x),\quad \forall x\in X.\,$

Графік непарної функції центрально-симетричний відносно початку координат.

Властивості

• Сума і різниця непарних функцій буде непарною функцією
• Композиція непарних функцій буде непарною функцією
• Добуток і частка непарних функцій буде парною функцією
• Довільну функцію можна розкласти в суму парної та непарної функцій

Приклади

• $y=-x$
• $y=x^{3}$
• $y=4x^{5}-2x^{3}+7x+{\frac {2}{x}}$ (тільки непарні степені)
• $y=\sin x$

Алгоритм дослідження функції на непарність

Дослідити функцію на непарність — з'ясувати, чи є задана функція непарною.

Алгоритм дослідження функції $y=f(x)$ на непарність:

• Скласти вираз $f(-x)$, для цього у функції $y=f(x)$ замінити аргумент $x$ на $-x$;
• Порівняти $f(-x)$ і $-f(x)$, якщо $f(-x)=-f(x)$, то функція - непарна.

Див. також

• Парна функція

Джерела

• Завало С. Т. (1972). Елементи аналізу. Алгебра многочленів. Київ: Радянська школа. с. 462.  (укр.)
• Вирченко Н. А., Ляшко И. И., Швецов К. И. Графики функций : справочник. — К. : Наукова думка, 1979. — С. 17—18.(рос.)
• Функція непарна // Універсальний словник-енциклопедія. — 4-те вид. — К. : Тека, 2006.
• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — Москва : Наука, 1962. — Т. 1. — 607 с.(рос.)