Відмінності між версіями «Нерівність Юнга»

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
[неперевірена версія][перевірена версія]
м (Вилучення 17 інтервікі, відтепер доступних на Вікіданих: d:q910563)
Рядок 5: Рядок 5:
   
 
== Доведення ==
 
== Доведення ==
  +
[[File:Нерівність Юнга - опуклість логарифма.tif|thumb|300px]]
 
 
Для <math>a=0</math> чи <math>b=0</math> нерівність очевидна. Для <math>a>0</math>, <math>b>0</math> нерівність випливає з [[опукла функція|опуклості]] [[Логарифм|логарифмічної функції]]: для будь-яких <math>x_1</math>, <math>x_2>0</math>
 
Для <math>a=0</math> чи <math>b=0</math> нерівність очевидна. Для <math>a>0</math>, <math>b>0</math> нерівність випливає з [[опукла функція|опуклості]] [[Логарифм|логарифмічної функції]]: для будь-яких <math>x_1</math>, <math>x_2>0</math>
   

Версія за 10:41, 18 жовтня 2014

Нерівність Юнга в математиці формулюється так: для будь яких дійсних чисел і таких, що справедливо:

.

Нерівність названа на честь англійського математика Вільяма Юнга.

Доведення

Нерівність Юнга - опуклість логарифма.tif

Для чи нерівність очевидна. Для , нерівність випливає з опуклості логарифмічної функції: для будь-яких ,

.

Взявши в даній нерівності одержимо, що

,

і остаточно нерівність Юнга одержується за допомогою експоненціювання.

Див. також