Нерівність Юнга

Нерівність Юнга в математиці формулюється так: для будь-яких дійсних чисел $a,b\geq 0$ і $p,q\geq 1$ таких, що ${\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1$ справедливо:

$ab\leq {\frac {a^{p}}{p}}+{\frac {b^{q}}{q}}$.

Нерівність названа на честь англійського математика Вільяма Юнга.

Доведення

Для $a=0$ чи $b=0$ нерівність очевидна. Для $a>0$, $b>0$ нерівність випливає з опуклості логарифмічної функції: для будь-яких $x_{1}$, $x_{2}>0$

$\ln(\alpha x_{1}+\beta x_{2})\geqslant \alpha \ln x_{1}+\beta \ln x_{2},~~~{\mathcal {\alpha }},\beta \geqslant 0,\alpha +\beta =1$.

Взявши в даній нерівності $\alpha =p^{-1},~\beta =q^{-1},~x_{1}=a^{p},~x_{2}=b^{p},$ одержимо, що

$\ln \left({\frac {a^{p}}{p}}+{\frac {b^{p}}{q}}\right)\geqslant {\frac {\ln a^{p}}{p}}+{\frac {\ln b^{p}}{q}}=\ln(ab)$,

і остаточно нерівність Юнга одержується за допомогою експоненціювання.

Див. також

• Нерівність Мінковського
• Нерівність Гельдера

Джерела

• Беккенбах Э., Беллман Р. Неравенства. — Москва : Наука, 1965.(рос.)