Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
У математиці , нормою матриці вважають розширенням терміну векторної норми на матриці .
Нехай у просторі векторів
R
m
{\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}
норма вектора
‖
⋅
‖
{\displaystyle \|\cdot \|}
нормою матриці
A
{\displaystyle A}
‖
A
‖
=
sup
x
≠
0
‖
A
x
‖
‖
x
‖
=
sup
‖
x
‖
=
1
‖
A
x
‖
{\displaystyle \|A\|=\sup _{x\neq 0}{\frac {\|Ax\|}{\|x\|}}=\sup _{\|x\|=1}{\|Ax\|}}
Прямі вирази У залежності від конкретної норми для векторів можна знайти прямі вирази для норми матриці. Нижче наведені три поширені норми:
‖
x
‖
∞
=
max
1
≤
j
≤
m
|
x
j
|
{\displaystyle \|x\|_{\infty }=\max _{1\leq j\leq m}\left|x_{j}\right|}
‖
A
‖
∞
=
max
1
≤
i
≤
m
(
∑
j
=
1
m
|
a
i
j
|
)
{\displaystyle \|A\|_{\infty }=\max _{1\leq i\leq m}\left(\sum _{j=1}^{m}|a_{ij}|\right)}
‖
x
‖
1
=
∑
j
=
1
m
|
x
j
|
{\displaystyle \|x\|_{1}=\sum _{j=1}^{m}\left|x_{j}\right|}
‖
A
‖
1
=
max
1
≤
j
≤
m
(
∑
i
=
1
m
|
a
i
j
|
)
{\displaystyle \|A\|_{1}=\max _{1\leq j\leq m}\left(\sum _{i=1}^{m}\left|a_{ij}\right|\right)}
‖
x
‖
2
=
∑
j
=
1
m
|
x
j
|
2
=
(
x
,
x
)
{\displaystyle \|x\|_{2}={\sqrt {\sum _{j=1}^{m}{\left|x_{j}\right|}^{2}}}={\sqrt {(x,x)}}}
‖
A
‖
2
=
max
1
≤
i
≤
m
λ
A
T
⋅
A
i
{\displaystyle \|A\|_{2}={\sqrt {\max _{1\leq i\leq m}\lambda _{A^{T}\cdot A}^{i}}}}
λ
D
i
{\displaystyle \lambda _{D}^{i}}
власні значення матриці
D
{\displaystyle D}
Векторні норми Матрицю розмірності
m
×
n
{\displaystyle m\times n}
m
n
{\displaystyle mn}
норму вектора .
Норма Фробеніуса Виглядає так:
‖
A
‖
F
=
∑
i
=
1
m
∑
j
=
1
n
|
a
i
j
|
2
{\displaystyle \|A\|_{F}={\sqrt {\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}|a_{ij}|^{2}}}}
Властивості норми матриці Хай
K
{\displaystyle K}
поле з дійсних чи комплексних чисел . Хай
K
m
×
n
{\displaystyle K^{m\times n}}
векторний простір , що містить всі матриці з
m
{\displaystyle m}
n
{\displaystyle n}
K
{\displaystyle K}
Якщо
‖
A
‖
{\displaystyle \|A\|}
A
{\displaystyle A}
‖
A
‖
>
0
{\displaystyle \|A\|>0}
A
≠
0
{\displaystyle A\neq 0}
‖
A
‖
=
0
{\displaystyle \|A\|=0}
A
=
0
{\displaystyle A=0}
‖
α
A
‖
=
|
α
|
⋅
‖
A
‖
,
∀
α
∈
K
{\displaystyle \|\alpha A\|=|\alpha |\cdot \|A\|,\qquad \forall \alpha \in K}
∀
A
∈
K
m
×
n
{\displaystyle \forall A\in K^{m\times n}}
‖
A
+
B
‖
≤
‖
A
‖
+
‖
B
‖
,
∀
A
,
B
∈
K
m
×
n
.
{\displaystyle \|A+B\|\leq \|A\|+\|B\|,\qquad \forall A,B\in K^{m\times n}.}
Крім того, у випадку квадратних матриць, деякі (не всі) норми задовольняють наступну властивість, яка пов'язана з тим, що матриці — це більш ніж вектор:
‖
A
B
‖
≤
‖
A
‖
‖
B
‖
{\displaystyle \|AB\|\leq \|A\|\|B\|}
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
K
n
×
n
.
{\displaystyle K^{n\times n}.}
Норма матриці що задовільняє цю властивість називається субмультиплікативною нормою (деякі підручники використовують термін "норма матриці" виключно для субмультиплікативних норм).
Множина квадратних матриць з нормою, що задовольняє останню властивість утворює банахову алгебру .
Узгоджені норми Матрична норма
‖
⋅
‖
{\displaystyle \|\cdot \|}
K
m
×
n
{\displaystyle K^{m\times n}}
узгодженою (англ. consistent
‖
⋅
‖
a
{\displaystyle \|\cdot \|_{a}}
‖
⋅
‖
b
{\displaystyle \|\cdot \|_{b}}
K
n
{\displaystyle K^{n}}
K
m
{\displaystyle K^{m}}
‖
A
x
‖
b
≤
‖
A
‖
‖
x
‖
a
{\displaystyle \|Ax\|_{b}\leq \|A\|\|x\|_{a}}
для всіх
A
∈
K
m
×
n
,
x
∈
K
n
{\displaystyle A\in K^{m\times n},x\in K^{n}}
індуковані норми узгодженні за означенням.
Сумісні норми Матрична норма
‖
⋅
‖
{\displaystyle \|\cdot \|}
K
n
×
n
{\displaystyle K^{n\times n}}
сумісною (англ. compatible
‖
⋅
‖
a
{\displaystyle \|\cdot \|_{a}}
K
n
,
{\displaystyle K^{n},}
‖
A
x
‖
a
≤
‖
A
‖
‖
x
‖
a
{\displaystyle \|Ax\|_{a}\leq \|A\|\|x\|_{a}}
для всіх
A
∈
K
n
×
n
,
x
∈
K
n
{\displaystyle A\in K^{n\times n},x\in K^{n}}
Посилання Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. Г. Численные методы.
