Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Версія для друку більше не підтримується і може мати помилки обробки. Будь ласка, оновіть свої закладки браузера, а також використовуйте натомість базову функцію друку у браузері.
У математиці , нормою матриці вважають розширенням терміну векторної норми на матриці .
Нехай у просторі векторів
R
m
{\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}
визначена норма вектора
‖
⋅
‖
{\displaystyle \|\cdot \|}
. Тоді нормою матриці
A
{\displaystyle A}
називають число
‖
A
‖
=
sup
x
≠
0
‖
A
x
‖
‖
x
‖
=
sup
‖
x
‖
=
1
‖
A
x
‖
{\displaystyle \|A\|=\sup _{x\neq 0}{\frac {\|Ax\|}{\|x\|}}=\sup _{\|x\|=1}{\|Ax\|}}
.
Прямі вирази
У залежності від конкретної норми для векторів можна знайти прямі вирази для норми матриці. Нижче наведені три поширені норми:
‖
x
‖
∞
=
max
1
≤
j
≤
m
|
x
j
|
{\displaystyle \|x\|_{\infty }=\max _{1\leq j\leq m}\left|x_{j}\right|}
. Тоді
‖
A
‖
∞
=
max
1
≤
i
≤
m
(
∑
j
=
1
m
|
a
i
j
|
)
{\displaystyle \|A\|_{\infty }=\max _{1\leq i\leq m}\left(\sum _{j=1}^{m}|a_{ij}|\right)}
‖
x
‖
1
=
∑
j
=
1
m
|
x
j
|
{\displaystyle \|x\|_{1}=\sum _{j=1}^{m}\left|x_{j}\right|}
. Тоді
‖
A
‖
1
=
max
1
≤
j
≤
m
(
∑
i
=
1
m
|
a
i
j
|
)
{\displaystyle \|A\|_{1}=\max _{1\leq j\leq m}\left(\sum _{i=1}^{m}\left|a_{ij}\right|\right)}
‖
x
‖
2
=
∑
j
=
1
m
|
x
j
|
2
=
(
x
,
x
)
{\displaystyle \|x\|_{2}={\sqrt {\sum _{j=1}^{m}{\left|x_{j}\right|}^{2}}}={\sqrt {(x,x)}}}
. Тоді
‖
A
‖
2
=
max
1
≤
i
≤
m
λ
A
T
⋅
A
i
{\displaystyle \|A\|_{2}={\sqrt {\max _{1\leq i\leq m}\lambda _{A^{T}\cdot A}^{i}}}}
, де
λ
D
i
{\displaystyle \lambda _{D}^{i}}
— власні значення матриці
D
{\displaystyle D}
.
Векторні норми
Матрицю розмірності
m
×
n
{\displaystyle m\times n}
можна трактувати як вектор довжини
m
n
{\displaystyle mn}
і застосовувати до нього норму вектора .
Норма Фробеніуса
Виглядає так:
‖
A
‖
F
=
∑
i
=
1
m
∑
j
=
1
n
|
a
i
j
|
2
{\displaystyle \|A\|_{F}={\sqrt {\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}|a_{ij}|^{2}}}}
Властивості норми матриці
Хай
K
{\displaystyle K}
позначає поле з дійсних чи комплексних чисел . Хай
K
m
×
n
{\displaystyle K^{m\times n}}
позначає векторний простір , що містить всі матриці з
m
{\displaystyle m}
рядків та
n
{\displaystyle n}
стовпців з елементами типу
K
{\displaystyle K}
.
Якщо
‖
A
‖
{\displaystyle \|A\|}
позначає норму матриці
A
{\displaystyle A}
, тоді для неї виконуються такі властивості:
‖
A
‖
>
0
{\displaystyle \|A\|>0}
якщо
A
≠
0
{\displaystyle A\neq 0}
та
‖
A
‖
=
0
{\displaystyle \|A\|=0}
тоді і тільки тоді, коли
A
=
0
{\displaystyle A=0}
‖
α
A
‖
=
|
α
|
⋅
‖
A
‖
,
∀
α
∈
K
{\displaystyle \|\alpha A\|=|\alpha |\cdot \|A\|,\qquad \forall \alpha \in K}
та
∀
A
∈
K
m
×
n
{\displaystyle \forall A\in K^{m\times n}}
‖
A
+
B
‖
≤
‖
A
‖
+
‖
B
‖
,
∀
A
,
B
∈
K
m
×
n
.
{\displaystyle \|A+B\|\leq \|A\|+\|B\|,\qquad \forall A,B\in K^{m\times n}.}
Крім того, у випадку квадратних матриць, деякі (не всі) норми задовольняють наступну властивість, яка пов'язана з тим, що матриці — це більш ніж вектор:
‖
A
B
‖
≤
‖
A
‖
‖
B
‖
{\displaystyle \|AB\|\leq \|A\|\|B\|}
для всіх
A
{\displaystyle A}
та
B
{\displaystyle B}
з
K
n
×
n
.
{\displaystyle K^{n\times n}.}
Норма матриці що задовільняє цю властивість називається субмультиплікативною нормою (деякі підручники використовують термін "норма матриці" виключно для субмультиплікативних норм).
Множина квадратних матриць з нормою, що задовольняє останню властивість утворює банахову алгебру .
Узгоджені норми
Матрична норма
‖
⋅
‖
{\displaystyle \|\cdot \|}
на
K
m
×
n
{\displaystyle K^{m\times n}}
називається узгодженою (англ. consistent ) з векторними нормами
‖
⋅
‖
a
{\displaystyle \|\cdot \|_{a}}
і
‖
⋅
‖
b
{\displaystyle \|\cdot \|_{b}}
на
K
n
{\displaystyle K^{n}}
і
K
m
{\displaystyle K^{m}}
відповідно, якщо:
‖
A
x
‖
b
≤
‖
A
‖
‖
x
‖
a
{\displaystyle \|Ax\|_{b}\leq \|A\|\|x\|_{a}}
для всіх
A
∈
K
m
×
n
,
x
∈
K
n
{\displaystyle A\in K^{m\times n},x\in K^{n}}
. Усі індуковані норми узгодженні за означенням.
Сумісні норми
Матрична норма
‖
⋅
‖
{\displaystyle \|\cdot \|}
на
K
n
×
n
{\displaystyle K^{n\times n}}
називається сумісною (англ. compatible ) з векторною нормою
‖
⋅
‖
a
{\displaystyle \|\cdot \|_{a}}
на
K
n
,
{\displaystyle K^{n},}
якщо:
‖
A
x
‖
a
≤
‖
A
‖
‖
x
‖
a
{\displaystyle \|Ax\|_{a}\leq \|A\|\|x\|_{a}}
для всіх
A
∈
K
n
×
n
,
x
∈
K
n
{\displaystyle A\in K^{n\times n},x\in K^{n}}
. Індукована норма сумісна за означенням.
Посилання
Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. Г. Численные методы.