Оператор набла у різних системах координат: відмінності між версіями

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
[неперевірена версія][неперевірена версія]
Немає опису редагування
Немає опису редагування
Рядок 20: Рядок 20:
* у циліндричних координатах: <math> {\partial i_\rho \over \partial \varphi}=i_\varphi</math> і <math> {\partial i_\varphi \over \partial \varphi}=-i_\rho</math>;
* у циліндричних координатах: <math> {\partial i_\rho \over \partial \varphi}=i_\varphi</math> і <math> {\partial i_\varphi \over \partial \varphi}=-i_\rho</math>;
* у сферичних координатах: <math> {\partial i_r \over \partial \theta}=i_\theta</math>, <math> {\partial i_\theta \over \partial \theta}=-i_r</math>, <math> {\partial i_r \over \partial \varphi}=i_\varphi \sin \theta</math>, <math> {\partial i_\theta \over \partial \varphi}=i_\varphi \cos \theta</math> і <math> {\partial i_\varphi \over \partial \varphi}=-i_r \sin \theta-i_\vartheta \cos \theta</math>.
* у сферичних координатах: <math> {\partial i_r \over \partial \theta}=i_\theta</math>, <math> {\partial i_\theta \over \partial \theta}=-i_r</math>, <math> {\partial i_r \over \partial \varphi}=i_\varphi \sin \theta</math>, <math> {\partial i_\theta \over \partial \varphi}=i_\varphi \cos \theta</math> і <math> {\partial i_\varphi \over \partial \varphi}=-i_r \sin \theta-i_\vartheta \cos \theta</math>.
Наприклад, у таблиці, наведеній у статті [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9E%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BE%D1%80_%D0%BD%D0%B0%D0%B1%D0%BB%D0%B0_%D0%B2_%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%BD%D1%8B%D1%85_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%85_%D0%BA%D0%BE%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%82] запис дивергенції у циліндричних координатах отримано наступним чином:
Наприклад, у таблиці, наведеній у статті <ref name=":0">{{Cite web|url=https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9E%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BE%D1%80_%D0%BD%D0%B0%D0%B1%D0%BB%D0%B0_%D0%B2_%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%BD%D1%8B%D1%85_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%85_%D0%BA%D0%BE%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%82|title=Оператор набла в различных системах координат|last=|first=|date=|website=|publisher=|language=|accessdate=}}</ref> запис дивергенції у циліндричних координатах отримано наступним чином:


<math> \nabla \cdot\mathbf{A}=i_\rho\cdot {\partial \over \partial \rho}(i_\rho A_\rho
<math> \nabla \cdot\mathbf{A}=i_\rho\cdot {\partial \over \partial \rho}(i_\rho A_\rho
Рядок 36: Рядок 36:
<math> ={1 \over \rho}{\partial (\rho A_\rho)\over \partial \rho}+
<math> ={1 \over \rho}{\partial (\rho A_\rho)\over \partial \rho}+
{1 \over \rho}{\partial A_\varphi \over \partial \varphi}+{\partial A_z\over \partial z}</math>
{1 \over \rho}{\partial A_\varphi \over \partial \varphi}+{\partial A_z\over \partial z}</math>

== Див. також: ==
<ref name=":0" /> Оператор набла в различных системах координат

Версія за 15:25, 25 серпня 2016

Загальний вираз

Загальний вираз для оператора ∇ у ловільній системі координат можна записати так:

,

де "" - будь-який з трьох значків, що відповідають дії оператора ∇:

  • " " - градиент;
  • " · " - дивергенция;
  • " × " - ротор.

Елементи у цьому записі відповідають елементам радіус-вектора у відповідній системі координат:

Іншими словами, першою дією є взяття часткової похідної за проекцією радіус-вектора від цілого вектора (з урахуванням похідних орт у цій системі координат), і лише потім множення (просте для градієнту, скалярне для дивергенції та векторне для ротору) орта напрямку на .

При цьому достатньо знати вирази:

  • у циліндричних координатах: і ;
  • у сферичних координатах: , , , і .

Наприклад, у таблиці, наведеній у статті [1] запис дивергенції у циліндричних координатах отримано наступним чином:

Див. також:

[1] Оператор набла в различных системах координат

  1. а б Оператор набла в различных системах координат.