Відмінності між версіями «Параболоїд»

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
[неперевірена версія][неперевірена версія]
(→‎Таблиця множення: Немає необхідності загострювати увагу на торговій марці. Будь-які класичні чіпси мають таку форму.)
Мітки: Редагування з мобільного пристрою Редагування через мобільну версію
 
Рядок 47: Рядок 47:
   
 
== Таблиця множення ==
 
== Таблиця множення ==
[[Файл:Pringles_chips.JPG|thumb|right|Чіпси Прінглз — це приклад гіперболічного параболоїду]]
+
[[Файл:Pringles_chips.JPG|thumb|right|Чіпси — це приклад гіперболічного параболоїду]]
 
Якщо гіперболічний параболоїд
 
Якщо гіперболічний параболоїд
 
: <math> z = {x^2 \over a^2} - {y^2 \over b^2} </math>
 
: <math> z = {x^2 \over a^2} - {y^2 \over b^2} </math>

Поточна версія на 13:53, 1 лютого 2021

Параболоїд обертання

Параболоїд — тип поверхні другого порядку.

Рівняння[ред. | ред. код]

Типи параболоїдів[ред. | ред. код]

Канонічне рівняння параболоїда в декартових координатах:

  • якщо і мають один знак, то параболоїд зветься еліптичним.
  • якщо і мають різні знаки, то параболоїд зветься гіперболічним.
  • якщо один з коефіцієнтів дорівнює нулю, то параболоїд зветься параболічним циліндром.

Еліптичний параболоїд[ред. | ред. код]

Еліптичний параболоїд

Еліптичний параболоїд виглядає як овальна чашка й може мати точку максимуму або мінімуму. У системі координат з трьома осями , і , еліптичний параболоїд може бути поданий рівнянням

де і  — константи, що визначають кривизну в площинах - і - відповідно.

Гіперболічний параболоїд[ред. | ред. код]

Гіперболічний параболоїд

Гіперболічний параболоїд (не плутати з гіперболоїдом) — це двічі лінійчата поверхня, що має вигляд сідла. У підходящій системі координат гіперболічний параболоїд може бути поданий рівнянням

Властивості[ред. | ред. код]

Гіперболічний параболоїд — це двічі лінійчата поверхня, тому може бути використана для побудови сідлової поверхні з ліній.

Коли a = b, еліптичний параболоїд перетворюється на параболоїд обертання: поверхню отримано обертанням параболи навколо її осі. Форму параболоїду обертання мають параболічні рефлектори, дзеркала, антенні тарілки тощо. Форма рідини, що обертається в рідинно-дзеркальних телескопах, також є параболоїдом обертання. Параболоїд обертання також називається круговим параболоїдом.

Кривина[ред. | ред. код]

Еліптичний параболоїд, що параметризований як

має Ґаусову кривину

і середню кривину

обидві з яких є позитивними, мають максимум на початку відліку, стають меншими з рухом точки від початку відліку, прямують асимптотично до нуля, коли точка рухається нескінченно віддалено від початку відліку.

Гіперболічний параболої параметризований як

має Ґаусову кривину

і середню кривину

Таблиця множення[ред. | ред. код]

Чіпси — це приклад гіперболічного параболоїду

Якщо гіперболічний параболоїд

обертається на кут π/4 в напрямку +z (відповідно до правила правої руки, то результатом є поверхня

і якщо тоді вираз спрощується до

.

Нарешті, прирівнюючи , можна бачити, що гіперболічний параболоїд

є конгруентним до поверхні

що може бути геоментричною інтерпретацією (тривимірна номограма) таблиці множення.

Дві параболоїдні функції

і

є гармонійними кон'югатами, і разом формують аналітичну функцію

яка є аналітичним продовженням parabolic function

Параболоїди в природі та техніці[ред. | ред. код]

Дах вокзалу в Варшаві має форму гіперболічного параболоїда

Параболоїди обертання мають властивість фокусувати промені, що проходять паралельно головній оптичній осі, в одній точці, ця властивість використовується при розробці антен та телескопів.

Гіперболічний параболоїд утворюється сіткою прямих, що перетинаються, ця властивість використовується в будівництві.

Гіперболоїд інженера Гаріна насправді мав форму параболоїда обертання.

Чайник у формі параболоїда обертання швидше закипає і довше зберігає тепло.

Посилання[ред. | ред. код]

Див. також[ред. | ред. код]