Відмінності між версіями «Первісна»

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
[перевірена версія][перевірена версія]
м (Відкинуто редагування 178.93.148.236 до зробленого Dexbot)
м
Рядок 61: Рядок 61:
 
{{reflist}}
 
{{reflist}}
   
== Література ==
+
== Джерела ==
  +
* {{Фихтенгольц.том1}}
* {{cite book
 
|автор = Г. М. Фихтенгольц
 
|title = Курс дифференциального и интегрального исчисления
 
|видавництво = Наука
 
|дата = 1969
 
|знаходження = Москва}}
 
 
== Посилання ==
 
* [http://fizma.net/index.php?idi=alg/int Динамічні математичні моделі FIZMA.neT]
 
 
* [http://essuir.sumdu.edu.ua/handle/123456789/16542 Іваненко, О. О. Курс лекцій з математичного аналізу [Текст] : навч. посіб. / О. О. Іваненко, Т. В. Іваненко. — Суми : СумДУ, 2011. — 534 с.]
 
* [http://essuir.sumdu.edu.ua/handle/123456789/16542 Іваненко, О. О. Курс лекцій з математичного аналізу [Текст] : навч. посіб. / О. О. Іваненко, Т. В. Іваненко. — Суми : СумДУ, 2011. — 534 с.]
 
* [http://fizma.net/index.php?idi=alg/int Динамічні математичні моделі FIZMA.neT]
  +
 
{{math-stub}}
 
{{math-stub}}
   

Версія за 09:13, 21 жовтня 2015

Первісними для функції f(x)=2x є функції вигляду x²+C, де C — довільна стала

Пе́рвісною для функції f(x) називається така функція, похідна якої дорівнює f(x).

Операція взяття первісної є оберненою (в деякому сенсі) до операції взяття похідної: первісними для похідної f'(x) будуть функції f(x) + C, де CR — довільна стала (зокрема, однією з первісних буде сама функція f(x)). І навпаки, похідною від первісної для функції f(x) буде сама функція f(x).

Формальне означення та властивості первісної

Надалі через J будемо позначати довільний непорожній інтервал дійсних чисел (відкритий або замкнений, обмежений або необмежений).

[усталений термін?] Функція F(x) називається первісною (примітивною) для функції f(x) на інтервалі J дійсної вісі, якщо f(x) = F'(x) для всіх xJ.

Нехай функція F — первісна функції f на інтервалі J. Тоді

  • функція F(x) є неперервною на інтервалі J;
  • функція F(x) + C теж є первісною для f на J, де C ∈ R — довільна стала (якщо функція f(x) має первісну, то вона має нескінченну кількість первісних);
  • будь-яка первісна для f на J може бути представлена у вигляді F(x) + C, де C ∈ R — довільна стала.
Приклад. Для функції y = 3x2 первісними є функції F(x) = x3, F(x) = x3 + 5, F(x) = x3 − 6 тощо (на довільному інтервалі J).

Не всі функції мають первісну.

Приклад. Функція

не має первісної на відрізку [−1, 1].[1]

Теорема. Для довільної неперервної на деякому інтервалі J функції f існує первісна на цьому інтервалі.[2]

Методи знаходження первісної

Знаходження первісної для заданої функції f(x) називається інтегруванням. Для обчислення первісної використовуються ті самі методи, що і для обчислення невизначеного інтегралу, а саме

Не завжди первісну можна записати у вигляді скінченної комбінації елементарних функцій (наприклад, функція exp(x2) має первісну як неперервна функція, проте ця первісна не виражається аналітично). В такому разі первісну треба шукати у вигляді функціонального ряду або нескінченного добутку елементарних функцій.

Див. також

Примітки

  1. Доведення див. в § 5.1.1 в Дороговцев А. Я. Математический анализ. — К. : Факт, 2004. — 560с.
  2. Доведення див. в п. 183 Фихтенгольц Г. М. Основы математического анализа в 2 т. / Под ред. Головиной Л. И. — Москва : Наука, 196. — 1968. — Т. 1.

Джерела