Перетин множин

Теоретико-множинні операції

${\overline {A}}\!$ доповнення

$A\cup B\!$ об'єднання
$A\cap B\!$ перетин

$A\setminus B\!$ різниця

$A\triangle B\!$ симетрична різниця
$A\times B\!$ декартів добуток

В математиці, зокрема в теорії множин, перетином двох множин A та B називається множина, яка складається з усіх елементів множини A, які одночасно належать і множині B та навпаки (всі елементи множини B які належать A) і тільки їх. Вона і позначається як "A∩B та є підмножиною обох

Перетин множин A та B

Формально:

$A\cap B=\{x\mid x\in A\wedge x\in B\}.$; $A\cap B\subseteq A\land A\cap B\subseteq B$

Якщо одна множина є підмножиною другої, то їхній перетин дорівнює першій множині: $A\subseteq B\to A\cap B=A$

Якщо перетин двох множин A та B є порожнім, тобто не містить спільних елементів, то кажуть, що такі множини не перетинаються.

Цей факт позначається як A∩B = Ø.

Приклади:

• {1, 2, 3} ∩ {2, 3, 4} = {2, 3}.
• {1, 2} ∩ {3, 4} = Ø.

Алгебраїчні властивості

• Перетин множин є бінарною операцією на довільному булеані $2^{X}$;
• Операція перетину множин комутативна:

$A\cap B=B\cap A;\!$

• Операція перетину множин асоціативна:

$(A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C);\!$

• Універсальна множина $X$ є нейтральним елементом операції перетину множин:

$A\cap X=A;\!$

• З вищеперечислених властивостей випливає, що булеан з операцією перетину множин є абелевою групою;
• Операція перетину множин ідемпотентна:

$A\cap A=A;\!$

• Якщо $\emptyset$ — порожня множина, то

$A\cap \emptyset =\emptyset .$

Перетин довільної кількості множин

В загальному випадку, якщо множина M є непорожньою множиною, елементами якої в свою чергу є множини. Тоді елемент x є елементом перетину M тодій й тільки тоді, коли для кожного елемента A з M, x є елементом A.

В символьній формі:

$x\in \bigcap \mathbf {M} \iff \forall A\in \mathbf {M} ,\ x\in A.$

Наприклад, множина A∩B∩C є перетином такої колекції множин {A,B,C}.

Позначення перетину довільної кількості множин такі:

$\bigcap \mathbf {M} ,$ або $\bigcap _{A\in \mathbf {M} }A.$

Остання нотація може бути узагальнена до

$\bigcap _{i\in I}A_{i},$

що позначає перетин колекції множин {A_i : i ∈ I}. Тут I - непорожня множина, і A_i - множина для кожного i в I.

В цьому випадку I є індексна множина (тобто множина індексів, натуральних чисел), і можна застосувати нотацію, аналогічну нотації для сум:

$\bigcap _{i=1}^{\infty }A_{i}$

Також можна писати "A₁ ∩ A₂ ∩ A₃ ∩ ...

Див. також

• Кон'юнкція
• Переріз множини дійсних чисел

Джерела

• Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств. — Москва : Мир, 1970. — 416 с.(рос.)