Поверхневий інтеграл: відмінності між версіями

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
[перевірена версія][перевірена версія]
Немає опису редагування
(оформлення, шаблон)
Рядок 1: Рядок 1:
[[Файл:Surface integral illustration.svg|250px|thumb|Визначення поверхневого інтегралу спирається на розбиття поверхні на малі елементи]]
[[Файл:Surface integral illustration.svg|250px|thumb|Визначення поверхневого інтегралу спирається на розбиття поверхні на малі елементи]]
{{Calculus}}
У [[математика|математиці]] '''поверхне́вий інтегра́л''' — це [[визначений інтеграл]], котрий береться по поверхні (яка може бути зігнутою множиною в просторі); його можна розглядати як подвійний інтегральний аналог [[лінійний інтеграл|лінійного інтегралу]]. З огляду на поверхні, можна інтегрувати скалярні поля (тобто функції, які повертають числа як значення) і [[векторні поля]] (тобто функції, які повертають [[вектор]]и як значення).
У [[математика|математиці]] '''поверхне́вий інтегра́л''' — це [[визначений інтеграл]], котрий береться по поверхні (яка може бути зігнутою множиною в просторі); його можна розглядати як подвійний інтегральний аналог [[лінійний інтеграл|лінійного інтегралу]]. З огляду на поверхні, можна інтегрувати скалярні поля (тобто функції, які повертають числа як значення) і [[векторні поля]] (тобто функції, які повертають [[вектор]]и як значення).


Поверхневі інтеграли мають [[застосування]] у [[фізика|фізиці]], зокрема в класичній теорії [[електромагнетизм]]у.
Поверхневі інтеграли мають [[застосування]] у [[фізика|фізиці]], зокрема в класичній теорії [[електромагнетизм]]у.
Рядок 10: Рядок 11:
: <math>\!A^2+B^2+C^2>0,</math>
: <math>\!A^2+B^2+C^2>0,</math>


<math>
: <math>
A=\begin{vmatrix}
A=\begin{vmatrix}
{\partial y \over \partial u} & {\partial y \over \partial v} \\
{\partial y \over \partial u} & {\partial y \over \partial v} \\
Рядок 16: Рядок 17:
\end{vmatrix}</math>
\end{vmatrix}</math>


<math>
: <math>
\;B=\begin{vmatrix}
\;B=\begin{vmatrix}
{\partial z \over \partial u} & {\partial z \over \partial v} \\
{\partial z \over \partial u} & {\partial z \over \partial v} \\
Рядок 22: Рядок 23:
\end{vmatrix}</math>
\end{vmatrix}</math>


<math>
: <math>
\;C=\begin{vmatrix}
\;C=\begin{vmatrix}
{\partial x \over \partial u} & {\partial x \over \partial v} \\
{\partial x \over \partial u} & {\partial x \over \partial v} \\
Рядок 36: Рядок 37:
Хай поверхня <math>\!S</math> задана параметрично: <math>\!x=x(u, v)</math>, <math>\!y=y(u, v)</math>, <math>\!z=z(u, v)</math>, причому <math>\!u</math> і <math>\!v</math> пробігають деяку область <math>\!\Gamma</math> площини <math>\!u</math>, <math>\!v</math>. Тоді площа <math>\!S</math> поверхні визначається поверхневим інтегралом
Хай поверхня <math>\!S</math> задана параметрично: <math>\!x=x(u, v)</math>, <math>\!y=y(u, v)</math>, <math>\!z=z(u, v)</math>, причому <math>\!u</math> і <math>\!v</math> пробігають деяку область <math>\!\Gamma</math> площини <math>\!u</math>, <math>\!v</math>. Тоді площа <math>\!S</math> поверхні визначається поверхневим інтегралом


<math>\iint_{\Gamma} \sqrt{EG-F^2}\, du\,dv</math>,
: <math>\iint_{\Gamma} \sqrt{EG-F^2}\, du\,dv</math>,
де
де
<math>E= {\left( \frac{\partial x}{\partial u} \right)}^2 + {\left( \frac{\partial y}{\partial u} \right)}^2 + {\left( \frac{\partial z}{\partial u} \right)}^2</math>
: <math>E= {\left( \frac{\partial x}{\partial u} \right)}^2 + {\left( \frac{\partial y}{\partial u} \right)}^2 + {\left( \frac{\partial z}{\partial u} \right)}^2</math>


<math>F={\partial x \over \partial u}{\partial x \over \partial v}+{\partial y \over \partial u}{\partial y \over \partial v}+{\partial z \over \partial u}{\partial z \over \partial v}</math>
: <math>F={\partial x \over \partial u}{\partial x \over \partial v}+{\partial y \over \partial u}{\partial y \over \partial v}+{\partial z \over \partial u}{\partial z \over \partial v}</math>


<math>G= {\left( \frac{\partial x}{\partial v} \right)}^2 + {\left( \frac{\partial y}{\partial v} \right)}^2 + {\left( \frac{\partial z}{\partial v} \right)}^2</math>;
: <math>G= {\left( \frac{\partial x}{\partial v} \right)}^2 + {\left( \frac{\partial y}{\partial v} \right)}^2 + {\left( \frac{\partial z}{\partial v} \right)}^2</math>;


підінтегральний вираз
підінтегральний вираз


<math>dS=\sqrt{EG-F^2}\, du\,dv</math>
: <math>dS=\sqrt{EG-F^2}\, du\,dv</math>


називається ''елементом поверхні''.
називається ''елементом поверхні''.
Рядок 52: Рядок 53:
Якщо <math>S</math> задана явно рівнянням <math>z=\phi(x, y)</math>, причому <math>(x, y)</math> пробігають область <math>S'</math> (проекцію області <math>S</math> на площину <math>x0y</math>), то:
Якщо <math>S</math> задана явно рівнянням <math>z=\phi(x, y)</math>, причому <math>(x, y)</math> пробігають область <math>S'</math> (проекцію області <math>S</math> на площину <math>x0y</math>), то:


<math>S=\iint_{S^\prime}\sqrt{1+p^2+q^2}\, dx\,dy</math>,
: <math>S=\iint_{S^\prime}\sqrt{1+p^2+q^2}\, dx\,dy</math>,


де
де
Рядок 61: Рядок 62:


=== Поверхневі інтеграли 1-го роду ===
=== Поверхневі інтеграли 1-го роду ===

[[Файл:Surface integral.png|left|thumb|Рис.&nbsp;1]]
[[Файл:Surface integral.png|left|thumb|Рис.&nbsp;1]]

<tt>Визначення поверхневого інтегралу 1-го роду</tt>.
<tt>Визначення поверхневого інтегралу 1-го роду</tt>.


Нехай деяка функція <math>\!f(x, y, z)</math> визначена і обмежена на гладкій поверхні <math>\!S</math>. Хай <math>\!Z</math> позначає деяке розбиття <math>\!S</math> на скінченну кількість елементарних поверхонь <math>\!S_i</math> (i = 1, 2 …. і) з площами <math>\!\Delta S_i</math>, <math>\!\Delta(Z)</math> є найбільшим діаметром елементарних поверхонь <math>\!S_i</math> і <math>\!M_i=(x_i, y_i, z_i) </math>&nbsp;— довільна точка на відповідній елементарній поверхні (Рис.&nbsp;1). Число
Нехай деяка функція <math>\!f(x, y, z)</math> визначена і обмежена на гладкій поверхні <math>\!S</math>. Хай <math>\!Z</math> позначає деяке розбиття <math>\!S</math> на скінченну кількість елементарних поверхонь <math>\!S_i</math> (i = 1, 2 …. і) з площами <math>\!\Delta S_i</math>, <math>\!\Delta(Z)</math> є найбільшим діаметром елементарних поверхонь <math>\!S_i</math> і <math>\!M_i=(x_i, y_i, z_i) </math>&nbsp;— довільна точка на відповідній елементарній поверхні (Рис.&nbsp;1). Число


<math>\!S(Z)=\sum_{i=1}^N {f(x_i, y_i, z_i) \Delta S_i}</math>
: <math>\!S(Z)=\sum_{i=1}^N {f(x_i, y_i, z_i) \Delta S_i}</math>


називається інтегральною сумою, що відповідає розбиттю <math>\!Z</math>.
називається інтегральною сумою, що відповідає розбиттю <math>\!Z</math>.
Якщо існує число <math>\!I</math> з такою властивістю: для кожного <math>\!\epsilon>0</math> знайдеться таке<math>\! \delta(\epsilon)>0</math>, що для кожного розбиття <math>\!Z</math> з <math>\!\Delta(Z)<\delta</math>, незалежно від вибору точок <math>\!M_i</math> <math>\!|S(Z) - I|<\delta</math>, то <math>\!I</math> називається <tt>поверхневим інтегралом 1-го роду</tt> від <math>\!f(x, y, z)</math> по поверхні <math>\!S</math> і записується
Якщо існує число <math>\!I</math> з такою властивістю: для кожного <math>\!\epsilon>0</math> знайдеться таке<math>\! \delta(\epsilon)>0</math>, що для кожного розбиття <math>\!Z</math> з <math>\!\Delta(Z)<\delta</math>, незалежно від вибору точок <math>\!M_i</math> <math>\!|S(Z) - I|<\delta</math>, то <math>\!I</math> називається <tt>поверхневим інтегралом 1-го роду</tt> від <math>\!f(x, y, z)</math> по поверхні <math>\!S</math> і записується


<math>\!I=\iint_{S} f(x, y, z)\ ds</math>
: <math>\!I=\iint_{S} f(x, y, z)\ ds</math>


Для окремого випадку підінтегрального виразу <math>\!f(x, y, z) \equiv 1</math>
Для окремого випадку підінтегрального виразу <math>\!f(x, y, z) \equiv 1</math>
Рядок 81: Рядок 80:
<tt>Обчислення</tt> (зведення до подвійного інтеграла): якщо поверхня задана параметрично:
<tt>Обчислення</tt> (зведення до подвійного інтеграла): якщо поверхня задана параметрично:


<math>\!x=x(u, v)</math>, <math>\!y=y(u, v)</math>, <math>\!z=z(u, v)</math>,
: <math>\!x=x(u, v)</math>, <math>\!y=y(u, v)</math>, <math>\!z=z(u, v)</math>,


причому <math>\!u</math> та <math>\!v</math> пробігають область <math>\!\Gamma</math> площини <math>\!u</math>, <math>\!v</math>
причому <math>\!u</math> та <math>\!v</math> пробігають область <math>\!\Gamma</math> площини <math>\!u</math>, <math>\!v</math>


<math>\!I=\iint_{S} f(x, y, z)\ ds=\iint_{\Gamma} f(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) \sqrt{EG-F^2}\, du dv </math>
: <math>\!I=\iint_{S} f(x, y, z)\ ds=\iint_{\Gamma} f(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) \sqrt{EG-F^2}\, du dv </math>


Якщо поверхня задана явно [[рівняння]]м <math>\!z=\phi(x, y)</math> причому <math>\!(x, y)</math> пробігають область <math>\!S'</math>, то
Якщо поверхня задана явно [[рівняння]]м <math>\!z=\phi(x, y)</math> причому <math>\!(x, y)</math> пробігають область <math>\!S'</math>, то


<math>\!I=\iint_{S} f(x, y, z)\ ds=\iint_{S'} f(x, y, \phi(x, y))\sqrt{1+p^2+q^2} \ dx dy </math>
: <math>\!I=\iint_{S} f(x, y, z)\ ds=\iint_{S'} f(x, y, \phi(x, y))\sqrt{1+p^2+q^2} \ dx dy </math>


Аналогічні формули вірні, якщо <math>\!S</math> представлена рівняннями виду <math>\!x=\psi(y, z)</math> чи <math>\!y=\chi(x, z)</math>
Аналогічні формули вірні, якщо <math>\!S</math> представлена рівняннями виду <math>\!x=\psi(y, z)</math> чи <math>\!y=\chi(x, z)</math>


=== Поверхневі інтеграли 2-го роду ===
=== Поверхневі інтеграли 2-го роду ===

[[Файл:Surface integral1.png|right|300px|thumb|Рис.&nbsp;2]]
[[Файл:Surface integral1.png|right|300px|thumb|Рис.&nbsp;2]]

Орієнтація двосторонньої незамкнутої поверхні: вибирається певна сторона поверхні <math>\!S</math>; на кожній замкнутій кривій на <math>\!S</math> визначається додатний напрям обходу так, що він разом з [[нормаль|нормаллю]] вибраної сторони утворював праву трійку векторів.
Орієнтація двосторонньої незамкнутої поверхні: вибирається певна сторона поверхні <math>\!S</math>; на кожній замкнутій кривій на <math>\!S</math> визначається додатний напрям обходу так, що він разом з [[нормаль|нормаллю]] вибраної сторони утворював праву трійку векторів.


Рядок 103: Рядок 100:


Число
Число
: <math>\!S(Z)=\sum_{i=1}^N f(x_i, y_i, z_i) \Delta S'_i</math>

<math>\!S(Z)=\sum_{i=1}^N f(x_i, y_i, z_i) \Delta S'_i</math>


називається <tt>інтегральною сумою</tt>, що відповідає розбиттю <math>\!Z</math>. На противагу утворенню інтегральних сум поверхневих інтегралів 1-го роду, тут <math>\!f(M_i)</math> множиться не на площу <math>\!\Delta S'_i</math> (елементарній поверхні <math>\! S_i</math> а на взяту із знаком площа <math>\!\Delta S'_i</math> проекції <math>\!S'_i</math> поверхні <math>\! S_i</math> на площину <math>\!x, y</math>.
називається <tt>інтегральною сумою</tt>, що відповідає розбиттю <math>\!Z</math>. На противагу утворенню інтегральних сум поверхневих інтегралів 1-го роду, тут <math>\!f(M_i)</math> множиться не на площу <math>\!\Delta S'_i</math> (елементарній поверхні <math>\! S_i</math> а на взяту із знаком площа <math>\!\Delta S'_i</math> проекції <math>\!S'_i</math> поверхні <math>\! S_i</math> на площину <math>\!x, y</math>.
Рядок 110: Рядок 106:
Якщо існує число <math>\!I</math> з такою властивістю: для кожного <math>\!\epsilon>0</math> знайдеться таке <math>\!\delta(\epsilon)>0</math>, що для кожного розбиття <math>\!Z</math> з <math>\!\Delta(Z)<\delta</math>, незалежно від вибору точок <math>\!M_i</math>, завжди |<math>\!|S(Z)-I|<\epsilon</math>, то <math>\!I</math> називають <tt>поверхневим інтегралом 2-го роду</tt> від
Якщо існує число <math>\!I</math> з такою властивістю: для кожного <math>\!\epsilon>0</math> знайдеться таке <math>\!\delta(\epsilon)>0</math>, що для кожного розбиття <math>\!Z</math> з <math>\!\Delta(Z)<\delta</math>, незалежно від вибору точок <math>\!M_i</math>, завжди |<math>\!|S(Z)-I|<\epsilon</math>, то <math>\!I</math> називають <tt>поверхневим інтегралом 2-го роду</tt> від


<math>\!f(x, y, z)</math> за вибраною стороною <math>\!S</math> і пишуть
: <math>\!f(x, y, z)</math> за вибраною стороною <math>\!S</math> і пишуть


<math>\!\iint_{S} f(x, y, z) \ dx\; dy</math>
: <math>\!\iint_{S} f(x, y, z) \ dx\; dy</math>


Якщо <math>\!S</math> не має взаємно однозначної проекції на площину <math>\!x, y</math>, але її можна розбити на скінченну кількість поверхонь, для кожної з яких існує така [[проекція]], то поверхневий інтеграл по <math>\!S</math> визначається як сума [[інтеграл]]ів по окремих поверхнях.
Якщо <math>\!S</math> не має взаємно однозначної проекції на площину <math>\!x, y</math>, але її можна розбити на скінченну кількість поверхонь, для кожної з яких існує така [[проекція]], то поверхневий інтеграл по <math>\!S</math> визначається як сума [[інтеграл]]ів по окремих поверхнях.
Рядок 118: Рядок 114:
Якщо <math>\!S</math> має однозначну проекцію на площину <math>\!y, z</math> або <math>\!x, z</math>, то можна визначити аналогічно два інших поверхневих інтеграла 2-го роду
Якщо <math>\!S</math> має однозначну проекцію на площину <math>\!y, z</math> або <math>\!x, z</math>, то можна визначити аналогічно два інших поверхневих інтеграла 2-го роду


<math>\!\iint_{S} f(x, y, z)\ dy dz</math>
: <math>\!\iint_{S} f(x, y, z)\ dy dz</math>


<math>\!\iint_{S} f(x, y, z)\ dz dx</math>
: <math>\!\iint_{S} f(x, y, z)\ dz dx</math>


де у відповідних інтегральних сумах стоять площі проекцій <math>\!S_i</math> на площину <math>\!y, z</math> або <math>\!x, z</math>.
де у відповідних інтегральних сумах стоять площі проекцій <math>\!S_i</math> на площину <math>\!y, z</math> або <math>\!x, z</math>.
Рядок 127: Рядок 123:




<math>\!
: <math>\!
\iint_{S} P\;dy\; dz+ Q\;dz\; dx + R\;dx\; dy =\iint_{S} P\;dy\; dz + \iint_{S} Q\;dz\; dx +\iint_{S} R\;dx\; dy
\iint_{S} P\;dy\; dz+ Q\;dz\; dx + R\;dx\; dy =\iint_{S} P\;dy\; dz + \iint_{S} Q\;dz\; dx +\iint_{S} R\;dx\; dy
</math>
</math>


==== Обчислення поверхневого інтеграла 2-го роду (зведення до подвійного інтеграла) ====
==== Обчислення поверхневого інтеграла 2-го роду (зведення до подвійного інтеграла) ====

'''1'''. Нехай поверхня <math>\!S</math> має явне представлення <math>\!z= \phi (x, y)</math>, причому <math>\!(x, y)</math> змінюються в області <math>\!S'</math>. Тоді поверхневий інтеграл по тій стороні <math>\!S</math>, для якої кут між нормаллю і віссю <math>\!z</math> є гострим, обчислюється так:
'''1'''. Нехай поверхня <math>\!S</math> має явне представлення <math>\!z= \phi (x, y)</math>, причому <math>\!(x, y)</math> змінюються в області <math>\!S'</math>. Тоді поверхневий інтеграл по тій стороні <math>\!S</math>, для якої кут між нормаллю і віссю <math>\!z</math> є гострим, обчислюється так:


<math>\!
: <math>\!
\iint_{S} f(x, y, z) dx dy= - \iint_{S'} f(x, y, \phi(x, y))
\iint_{S} f(x, y, z) dx dy= - \iint_{S'} f(x, y, \phi(x, y))
</math>
</math>
Рядок 141: Рядок 136:
Якщо вибрана інша сторона поверхні, то
Якщо вибрана інша сторона поверхні, то


<math>\!
: <math>\!
\iint_{S} f(x, y, z) dx dy= \iint_{S} f(x, y, \phi(x, y))
\iint_{S} f(x, y, z) dx dy= \iint_{S} f(x, y, \phi(x, y))
</math>
</math>
Рядок 147: Рядок 142:
Аналогічні формули виходять для інших інтегралів:
Аналогічні формули виходять для інших інтегралів:


<math>\!
: <math>\!
\iint_{S} f(x, y, z) dy dz= - \iint_{S'} f(\psi(y, z), y, z)
\iint_{S} f(x, y, z) dy dz= - \iint_{S'} f(\psi(y, z), y, z)
</math>
</math>
Рядок 153: Рядок 148:
де <math>\!S</math> задана рівнянням <math>\!x=\psi(y, z)</math>, <math>\!S'</math>&nbsp;— проекція <math>\!S</math> на площину <math>\!y, z</math>, а поверхневий інтеграл береться по тій стороні, нормаль до якої утворює з віссю <math>\!x</math> гострий кут. Так само
де <math>\!S</math> задана рівнянням <math>\!x=\psi(y, z)</math>, <math>\!S'</math>&nbsp;— проекція <math>\!S</math> на площину <math>\!y, z</math>, а поверхневий інтеграл береться по тій стороні, нормаль до якої утворює з віссю <math>\!x</math> гострий кут. Так само


<math>\!
: <math>\!
\iint_{S} f(x, y, z) dz dx= - \iint_{S'} f(x, \chi(z, x), y) dz dx
\iint_{S} f(x, y, z) dz dx= - \iint_{S'} f(x, \chi(z, x), y) dz dx
</math>
</math>
Рядок 161: Рядок 156:
'''2'''. Якщо поверхня <math>\!S</math> задана в параметричній формі: <math>\!x=x(u, v)</math>, <math>\!y=y(u, v)</math>, <math>\!z=z(u, v)</math>, то
'''2'''. Якщо поверхня <math>\!S</math> задана в параметричній формі: <math>\!x=x(u, v)</math>, <math>\!y=y(u, v)</math>, <math>\!z=z(u, v)</math>, то


<math>\!
: <math>\!
\iint_{S} f(x, y, z) dx dy= \pm \iint_{\Gamma} f(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) C\;du\; dv
\iint_{S} f(x, y, z) dx dy= \pm \iint_{\Gamma} f(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) C\;du\; dv
</math>
</math>


<math>\!
: <math>\!
\iint_{S} f(x, y, z) dy dz= \pm \iint_{\Gamma} f(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) A\;du\; dv
\iint_{S} f(x, y, z) dy dz= \pm \iint_{\Gamma} f(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) A\;du\; dv
</math>
</math>


<math>\!
: <math>\!
\iint_{S} f(x, y, z) dz dx= \pm \iint_{\Gamma} f(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) B\;du\; dv
\iint_{S} f(x, y, z) dz dx= \pm \iint_{\Gamma} f(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) B\;du\; dv
</math>
</math>
Рядок 175: Рядок 170:
де
де


<math>\!A={\partial (y, z) \over \partial (u, v)}</math>
: <math>\!A={\partial (y, z) \over \partial (u, v)}</math>


<math>\!B={\partial (z, x) \over \partial (u, v)}</math>
: <math>\!B={\partial (z, x) \over \partial (u, v)}</math>


<math>\!C={\partial (x, y) \over \partial (u, v)}</math>
: <math>\!C={\partial (x, y) \over \partial (u, v)}</math>


дивись рівняння угорі, додатний знак перед інтегралом справа використовується тоді, коли <tt>орієнтація</tt> області <math>\!\Gamma</math> площини <math>\!u, v</math> відповідає орієнтації вибраної сторони. Для суми трьох інтегралів отримуємо
дивись рівняння угорі, додатний знак перед інтегралом справа використовується тоді, коли <tt>орієнтація</tt> області <math>\!\Gamma</math> площини <math>\!u, v</math> відповідає орієнтації вибраної сторони. Для суми трьох інтегралів отримуємо


<math>\!
: <math>\!
\iint_{S} P\;dy\; dz+ Q\;dz\; dx + R\;dz\; dy =\pm \iint_{\Gamma} (PA+QB+RC)\; du\; dv
\iint_{S} P\;dy\; dz+ Q\;dz\; dx + R\;dz\; dy =\pm \iint_{\Gamma} (PA+QB+RC)\; du\; dv
</math>
</math>


=== Зв'язок між поверхневими інтегралами 1-го і 2-го роду ===
=== Зв'язок між поверхневими інтегралами 1-го і 2-го роду ===

Якщо <math>\!\alpha</math>, <math>\!\beta</math>, <math>\!\gamma</math>&nbsp;— кути нормалі до вибраної сторони поверхні з осями <math>\!x, y</math> і <math>\!z</math>, то
Якщо <math>\!\alpha</math>, <math>\!\beta</math>, <math>\!\gamma</math>&nbsp;— кути нормалі до вибраної сторони поверхні з осями <math>\!x, y</math> і <math>\!z</math>, то


Рядок 198: Рядок 192:


[[Файл:Surface integral2.png|right|thumb|Рис.&nbsp;3]]
[[Файл:Surface integral2.png|right|thumb|Рис.&nbsp;3]]

Поверхневий інтеграл
Поверхневий інтеграл


<math>\!
: <math>\!
\iint_{S} P\;dy\; dz+ Q\;dz\; dx + R\;dz\; dy
\iint_{S} P\;dy\; dz+ Q\;dz\; dx + R\;dz\; dy
</math>
</math>
Рядок 207: Рядок 200:
має для різних незамкнутих поверхонь <math>\!S_1</math> і <math>\!S_2</math> з однією і тією ж границею <math>\!C</math> у загальному випадку різні значення (Рис.&nbsp;3), тобто він в загальному випадку не обертається в [[нуль]] на замкнутій поверхні (аналогічно залежності від шляху криволінійного інтеграла). Якщо функції
має для різних незамкнутих поверхонь <math>\!S_1</math> і <math>\!S_2</math> з однією і тією ж границею <math>\!C</math> у загальному випадку різні значення (Рис.&nbsp;3), тобто він в загальному випадку не обертається в [[нуль]] на замкнутій поверхні (аналогічно залежності від шляху криволінійного інтеграла). Якщо функції


<math>\!
: <math>\!
P, Q, R, {\partial P \over \partial x}, {\partial Q \over \partial y}, {\partial R \over \partial z}
P, Q, R, {\partial P \over \partial x}, {\partial Q \over \partial y}, {\partial R \over \partial z}
</math>
</math>
Рядок 213: Рядок 206:
неперервні в однозв'язній просторовій області <math>\!V</math> (тобто в області, яка разом з кожною замкнутою поверхнею містить також і область, обмежену цією поверхнею), то поверхневий інтеграл по всякій замкнутій поверхні <math>\!S</math> в <math>\!V</math> обертається в нуль тоді і тільки тоді, коли
неперервні в однозв'язній просторовій області <math>\!V</math> (тобто в області, яка разом з кожною замкнутою поверхнею містить також і область, обмежену цією поверхнею), то поверхневий інтеграл по всякій замкнутій поверхні <math>\!S</math> в <math>\!V</math> обертається в нуль тоді і тільки тоді, коли


<math>\!
: <math>\!
{\partial P \over \partial x} + {\partial Q \over \partial y} + {\partial R \over \partial z}=0
{\partial P \over \partial x} + {\partial Q \over \partial y} + {\partial R \over \partial z}=0
</math>
</math>
Рядок 220: Рядок 213:


=== [[Об'єм]] [[тіло|тіла]] ===
=== [[Об'єм]] [[тіло|тіла]] ===

Об'єм <math>\!V</math> тіла (<math>\!V</math>), обмеженого кусково гладкими поверхнями <math>\!S</math>, можна різними способами обчислити як поверхневий інтеграл другого роду:
Об'єм <math>\!V</math> тіла (<math>\!V</math>), обмеженого кусково гладкими поверхнями <math>\!S</math>, можна різними способами обчислити як поверхневий інтеграл другого роду:


<math>\!V= \iint_{S} z\; dx\; dy</math>
: <math>\!V= \iint_{S} z\; dx\; dy</math>


чи
чи


<math>\!V= \iint_{S} x\; dy\; dz</math>
: <math>\!V= \iint_{S} x\; dy\; dz</math>


чи
чи


<math>\!V= \iint_{S} y\; dz\; dx</math>
: <math>\!V= \iint_{S} y\; dz\; dx</math>




або
або


<math>\!
: <math>\!
V= {1 \over 3} \iint_{S} x\; dy\; dz+y\; dz\; dx+ z\; dx\; dy
V= {1 \over 3} \iint_{S} x\; dy\; dz+y\; dz\; dx+ z\; dx\; dy
</math>
</math>
Рядок 243: Рядок 235:


=== Центр тяжіння та сила притягання ===
=== Центр тяжіння та сила притягання ===

Якщо поверхня <math>\!S</math> покрита масою з поверхневою густиною <math>\!\delta(x, y, z)</math>, то повна маса поверхні <math>\!S</math> дорівнює
Якщо поверхня <math>\!S</math> покрита масою з поверхневою густиною <math>\!\delta(x, y, z)</math>, то повна маса поверхні <math>\!S</math> дорівнює


<math>\!M=\iint_{S} \delta(x, y, z)\; dS</math>
: <math>\!M=\iint_{S} \delta(x, y, z)\; dS</math>


координати <math>\!(\xi, \eta, \zeta)</math> центру тяжіння дорівнюють
координати <math>\!(\xi, \eta, \zeta)</math> центру тяжіння дорівнюють


<math>\!
: <math>\!
\xi={1 \over M} \iint_{S} x \delta(x, y, z)\; dS
\xi={1 \over M} \iint_{S} x \delta(x, y, z)\; dS
</math>
</math>


<math>\!
: <math>\!
\eta={1 \over M} \iint_{S} y \delta(x, y, z)\; dS
\eta={1 \over M} \iint_{S} y \delta(x, y, z)\; dS
</math>
</math>


<math>\!
: <math>\!
\zeta={1 \over M} \iint_{S} z \delta(x, y, z)\; dS
\zeta={1 \over M} \iint_{S} z \delta(x, y, z)\; dS
</math>
</math>
Рядок 264: Рядок 255:
компоненти сили притягання <math>\!F</math> цього розподілу [[маса|маси]], що діє на матеріальну точку <math>\!M=(x_0, y_0, z_0)</math> одиничної маси, дорівнюють
компоненти сили притягання <math>\!F</math> цього розподілу [[маса|маси]], що діє на матеріальну точку <math>\!M=(x_0, y_0, z_0)</math> одиничної маси, дорівнюють


<math>\!
: <math>\!
F_x=\gamma \iint_{S} {{x-x_0} \over r^3}\; dS
F_x=\gamma \iint_{S} {{x-x_0} \over r^3}\; dS
</math>
</math>


<math>\!
: <math>\!
F_y=\gamma \iint_{S} {{y-y_0} \over r^3}\; dS
F_y=\gamma \iint_{S} {{y-y_0} \over r^3}\; dS
</math>
</math>


<math>\!
: <math>\!
F_z=\gamma \iint_{S} {{z-z_0} \over r^3}\; dS
F_z=\gamma \iint_{S} {{z-z_0} \over r^3}\; dS
</math>
</math>


<math>\!\gamma= const</math>
: <math>\!\gamma= const</math>


== Дивіться також ==
== Див. також ==
{{Портал|Математика}}
{{Портал|Математика}}
* [[Інтегральне числення]].
* [[Інтегральне числення]].


== Джерела ==
== Джерела ==

* ''Бронштейн&nbsp;И.&nbsp;Н.'', ''Семендяев&nbsp;К.&nbsp;А.'' Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов.&nbsp;— М.: Наука, 1980.&nbsp;— 976&nbsp;с., ил.
* ''Бронштейн&nbsp;И.&nbsp;Н.'', ''Семендяев&nbsp;К.&nbsp;А.'' Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов.&nbsp;— М.: Наука, 1980.&nbsp;— 976&nbsp;с., ил.



Версія за 20:08, 19 травня 2015

Визначення поверхневого інтегралу спирається на розбиття поверхні на малі елементи

У математиці поверхне́вий інтегра́л — це визначений інтеграл, котрий береться по поверхні (яка може бути зігнутою множиною в просторі); його можна розглядати як подвійний інтегральний аналог лінійного інтегралу. З огляду на поверхні, можна інтегрувати скалярні поля (тобто функції, які повертають числа як значення) і векторні поля (тобто функції, які повертають вектори як значення).

Поверхневі інтеграли мають застосування у фізиці, зокрема в класичній теорії електромагнетизму.

Поверхневі інтеграли

Шмат поверхні , заданий у параметричні формі: , , , причому (u, v) пробігають деяку область площини, називається гладким, якщо різні пари значень дають різні точки , часткові похідні функцій , , неперервні і завжди

Якщо поверхня складається з скінченного числа гладких кусків поверхні, то називається кусково гладкою.

Гладка поверхня називається двосторонньою, якщо при обході кожної замкнутої кривої на , виходячи з будь-якої точки на , повертаємося в початкове положення з напрямом нормалі, вибраним в . Обидві сторони двосторонньої поверхні можуть бути, таким чином, охарактеризовані напрямом відповідних нормалей. Односторонньою поверхнею є, наприклад, лист Мебіуса. Усюди надалі під поверхнею розуміється двостороння поверхня.

Площа гладкої поверхні

Докладніше: Площа поверхні

Хай поверхня задана параметрично: , , , причому і пробігають деяку область площини , . Тоді площа поверхні визначається поверхневим інтегралом

,

де

;

підінтегральний вираз

називається елементом поверхні.

Якщо задана явно рівнянням , причому пробігають область (проекцію області на площину ), то:

,

де

, .

Поверхневі інтеграли 1-го та 2-го роду

Поверхневі інтеграли 1-го роду

Рис. 1

Визначення поверхневого інтегралу 1-го роду.

Нехай деяка функція визначена і обмежена на гладкій поверхні . Хай позначає деяке розбиття на скінченну кількість елементарних поверхонь (i = 1, 2 …. і) з площами , є найбільшим діаметром елементарних поверхонь і  — довільна точка на відповідній елементарній поверхні (Рис. 1). Число

називається інтегральною сумою, що відповідає розбиттю . Якщо існує число з такою властивістю: для кожного знайдеться таке, що для кожного розбиття з , незалежно від вибору точок , то називається поверхневим інтегралом 1-го роду від по поверхні і записується

Для окремого випадку підінтегрального виразу

число дає площу поверхні .

Обчислення (зведення до подвійного інтеграла): якщо поверхня задана параметрично:

, , ,

причому та пробігають область площини ,

Якщо поверхня задана явно рівнянням причому пробігають область , то

Аналогічні формули вірні, якщо представлена рівняннями виду чи

Поверхневі інтеграли 2-го роду

Рис. 2

Орієнтація двосторонньої незамкнутої поверхні: вибирається певна сторона поверхні ; на кожній замкнутій кривій на визначається додатний напрям обходу так, що він разом з нормаллю вибраної сторони утворював праву трійку векторів.

Нехай в точках поверхні , розташованої однозначно над площиною і заданою явно рівнянням , визначена обмежена функцією . Нехай є розбиття поверхні на скінченну кількість елементарних поверхонь , ,  — найбільший діаметр елементарних поверхонь,  — довільна точка, вибрана на елементарній поверхні . Якщо вибрана певна сторона поверхні і тим самим орієнтація по ній, то напрям обходу межі кожної елементарної поверхні визначає напрям обходу в площині , біля кордону проекції . Площа цієї проекції береться із знаком «+», якщо межа проекції проходиться в додатному напрямі; інакше — із знаком «—» (Рис. 2).

Число

називається інтегральною сумою, що відповідає розбиттю . На противагу утворенню інтегральних сум поверхневих інтегралів 1-го роду, тут множиться не на площу (елементарній поверхні а на взяту із знаком площа проекції поверхні на площину .

Якщо існує число з такою властивістю: для кожного знайдеться таке , що для кожного розбиття з , незалежно від вибору точок , завжди |, то називають поверхневим інтегралом 2-го роду від

за вибраною стороною і пишуть

Якщо не має взаємно однозначної проекції на площину , але її можна розбити на скінченну кількість поверхонь, для кожної з яких існує така проекція, то поверхневий інтеграл по визначається як сума інтегралів по окремих поверхнях.

Якщо має однозначну проекцію на площину або , то можна визначити аналогічно два інших поверхневих інтеграла 2-го роду

де у відповідних інтегральних сумах стоять площі проекцій на площину або .

Нарешті, для трьох функцій , , , визначених на , ці інтеграли можна додати і визначити загальніший поверхневий інтеграл другого роду:


Обчислення поверхневого інтеграла 2-го роду (зведення до подвійного інтеграла)

1. Нехай поверхня має явне представлення , причому змінюються в області . Тоді поверхневий інтеграл по тій стороні , для якої кут між нормаллю і віссю є гострим, обчислюється так:

Якщо вибрана інша сторона поверхні, то

Аналогічні формули виходять для інших інтегралів:

де задана рівнянням ,  — проекція на площину , а поверхневий інтеграл береться по тій стороні, нормаль до якої утворює з віссю гострий кут. Так само

де задана рівнянням , проекція на площину , а поверхневий інтеграл береться по тій стороні, нормаль до якої складає з віссю у гострий кут.

2. Якщо поверхня задана в параметричній формі: , , , то

де

дивись рівняння угорі, додатний знак перед інтегралом справа використовується тоді, коли орієнтація області площини відповідає орієнтації вибраної сторони. Для суми трьох інтегралів отримуємо

Зв'язок між поверхневими інтегралами 1-го і 2-го роду

Якщо , ,  — кути нормалі до вибраної сторони поверхні з осями і , то

тобто поверхневий інтеграл 2-го роду, що стоїть зліва, перетвориться в поверхневий інтеграл 1-го роду, що стоїть справа.

Рис. 3

Поверхневий інтеграл

має для різних незамкнутих поверхонь і з однією і тією ж границею у загальному випадку різні значення (Рис. 3), тобто він в загальному випадку не обертається в нуль на замкнутій поверхні (аналогічно залежності від шляху криволінійного інтеграла). Якщо функції

неперервні в однозв'язній просторовій області (тобто в області, яка разом з кожною замкнутою поверхнею містить також і область, обмежену цією поверхнею), то поверхневий інтеграл по всякій замкнутій поверхні в обертається в нуль тоді і тільки тоді, коли

Геометричні і фізичні застосування поверхневого інтеграла

Об'єм тіла

Об'єм тіла (), обмеженого кусково гладкими поверхнями , можна різними способами обчислити як поверхневий інтеграл другого роду:

чи

чи


або

при цьому інтеграли слід брати по зовнішній стороні поверхні .

Центр тяжіння та сила притягання

Якщо поверхня покрита масою з поверхневою густиною , то повна маса поверхні дорівнює

координати центру тяжіння дорівнюють

компоненти сили притягання цього розподілу маси, що діє на матеріальну точку одиничної маси, дорівнюють

Див. також

Джерела

  • Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. — М.: Наука, 1980. — 976 с., ил.