Відмінності між версіями «Призма (математика)»

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
[перевірена версія][перевірена версія]
м (→‎Властивості призми: вікіфікація)
м (→‎Симетрія: вікіфікація)
Рядок 110: Рядок 110:
   
 
== Симетрія ==
 
== Симетрія ==
{{нп|Групи симетрії|Групою симетрії|ru|Группы симметрии}} прямої ''n''-кутної призми з правильною основою є група [[Діедральна група|D<sub>''n''h</sub>]] порядку 4''n'', за винятком куба, який має групу симетрії {{нп|Октаедральна симетрія|O<sub>h</sub>||octahedral symmetry}} порядку 48, що містить три версії D<sub>4h</sub> в якості [[Підгрупа|підгруп]]. {{нп|Точкова група симетрії в тривимірному просторі|Групою обертань|en|Point groups in three dimensions}} є D<sub>''n''</sub> 2''n'', за винятком випадку куба, для якого групою обертань є група {{нп|Октаедральна симетрія|O||octahedral symmetry}} порядку 24, що має три версії D<sub>4</sub> в якості підгруп.
+
[[Групи симетрії|Групою симетрії]] прямої ''n''-кутної призми з правильною основою є група [[Діедральна група|D<sub>''n''h</sub>]] порядку 4''n'', за винятком куба, який має групу симетрії {{нп|Октаедральна симетрія|O<sub>h</sub>||octahedral symmetry}} порядку 48, що містить три версії D<sub>4h</sub> в якості [[Підгрупа|підгруп]]. {{нп|Точкова група симетрії в тривимірному просторі|Групою обертань|en|Point groups in three dimensions}} є D<sub>''n''</sub> 2''n'', за винятком випадку куба, для якого групою обертань є група {{нп|Октаедральна симетрія|O||octahedral symmetry}} порядку 24, що має три версії D<sub>4</sub> в якості підгруп.
   
 
Група симетрії D<sub>''n''h</sub> включає [[Центральна симетрія|центральну симетрію]] в тому і тільки в тому випадку, коли ''n'' парне.
 
Група симетрії D<sub>''n''h</sub> включає [[Центральна симетрія|центральну симетрію]] в тому і тільки в тому випадку, коли ''n'' парне.

Версія за 15:40, 24 вересня 2019

Правильна призма з шестикутною основою

При́зма (дав.-гр. πρίσμα — «відпиляне»; від πρίζω — «пиляю») — стереометрична фігура, многогранник (призматоїд), у якого дві грані — рівні n-кутники, розташовані в паралельних площинах, а решта n граней — паралелограми. Ці паралелограми називаються бічними гранями призми, а інші два n-кутники називаються її основами.

Багатокутник, що лежить в основі, визначає назву призми: трикутник — трикутна призма, чотирикутник — чотирикутна; п'ятикутник — п'ятикутна (пентапризма) і т. д.

Призма є частковим випадком циліндра в загальному сенсі (некругового).

Призма називається прямою, якщо її бічні ребра перпендикулярні до основи. Інші призми — похилі.

Призма називається правильною, якщо вона пряма і її основи — правильні багатокутники.

Висота призми — відстань між площинами її основ.

Види призм

Призма, основою якої є паралелограм, називається паралелепіпедом.
Зрізана трикутна призма
Пряма призма — це призма, у якої бічні ребра перпендикулярні до площини основи, звідки випливає, що всі бічні грані є прямокутниками[1]. Інші призми називаються похилими.
Пряма прямокутна призма називається прямокутним паралелепіпедом. Символ Шлефлі такої призми— { }×{ }×{ }.
Правильна призма — це пряма призма, основою якої є правильний багатокутник. Бічні грані правильної призми — рівні прямокутники.
Правильна призма, бічні грані якої є квадратами (висота якої дорівнює стороні основи), є напівправильним багатогранником. Символ Шлефлі такої призми — t{2,p}.

Прямі призми з правильними основами й однаковими довжинами ребер утворюють одну з двох нескінченних послідовностей напівправильних багатогранників, іншу послідовність утворюють антипризми

Зрізана призма — це призма з непаралельними основами[2].

Елементи призми

Назва Визначення Позначення на кресленні Креслення
Основи Дві грані, є конгруентними багатокутниками, що лежать у паралельних одна одній площинах. ,
Призма
Бічні грані Усі грані, крім основ. Кожна бічна грань обов'язково є паралелограмом. , , , ,
Бічна поверхня Об'єднання бічних граней.
Повна поверхня Об'єднання основ і бічної поверхні.
Бічні ребра Спільні сторони бічних граней. , , , ,
Висота Відрізок, що з'єднує площини, у яких лежать основи призми і перпендикулярний до цих площин.
Діагональ Відрізок, що з'єднує дві вершини призми, які не належать одній грані.
Діагональна площина Площина, що проходить через бічне ребро призми і діагональ основи.
Діагональний переріз Перетин призми і діагональної площини. В перерізі утворюється паралелограм, зокрема його часткові випадки — ромб, прямокутник, квадрат.
Перпендикулярний (ортогональний) переріз Переріз призми і площини, перпендикулярної до її бічного ребра.

Властивості призми

  • Основи призми є рівними багатокутниками.
  • Бічні грані призми є паралелограмами.
  • Бічні ребра призми паралельні і рівні.
  • Об'єм призми дорівнює добутку її висоти на площу основи:
  • Об'єм призми з правильною n-кутною основою дорівнює
(тут s — довжина сторони багатокутника).
  • Площа повної поверхні призми дорівнює сумі площі її бічної поверхні і подвоєної площі основи.
  • Площа бічної поверхні довільної призми , де  — периметр перпендикулярного перерізу,  — довжина бічного ребра.
  • Площа бічної поверхні прямої призми , де  — периметр основи призми,  — висота призми.
  • Площа бічної поверхні прямої призми з правильною n-кутною основою дорівнює
  • Перпендикулярний переріз перпендикулярний до всіх бічних ребер призми.
  • Кути перпендикулярного перерізу — це лінійні кути двогранних кутів при відповідних бічних ребрах.
  • Перпендикулярний переріз перпендикулярний до всіх бічних граней.
  • Двоїстим багатогранником прямої призми є біпіраміда.

Діаграми Шлегеля

Triangular prismatic graph.png



Трикутна
призма
Cubical graph.png



4-кутна
призма
Pentagonal prismatic graph.png



5-кутна
призма
Hexagonal prismatic graph.png



6-кутна
призма
Heptagonal prismatic graph.png



7-кутна
призма
Octagonal prismatic graph.png



8-кутна
призма

Симетрія

Групою симетрії прямої n-кутної призми з правильною основою є група Dnh порядку 4n, за винятком куба, який має групу симетрії Oh[en] порядку 48, що містить три версії D4h в якості підгруп. Групою обертань[en] є Dn 2n, за винятком випадку куба, для якого групою обертань є група O[en] порядку 24, що має три версії D4 в якості підгруп.

Група симетрії Dnh включає центральну симетрію в тому і тільки в тому випадку, коли n парне.

Об'єм

Об'єм призми дорівнює добутку площі основи на висоту. Таким чином об'єм дорівнює:

де S — площа основи, h — висота. Об'єм правильної призми в основі якої є правильний n-кутник дорівнює:

Площа поверхні

Площа бічної поверхні призми дорівнює , де P — периметр основи, H — висота.

Площа поверхні призми дорівнює , де S — площа основи, h — висота, P — периметр основи.

Площа поверхні правильної призми в основі якої є правильний n-кутник дорівнює:

Призматичні багатогранники

Призматичний багатогранник — це узагальнення призми в просторах розмірності 4 і вище. n-вимірний призматичний багатогранник конструюється з двох (n − 1)-вимірних багатогранників, перенесених у наступну розмірність.

Елементи призматичного n-вимірного багатогранника подвоюються з елементів (n − 1)-вимірного багатогранника, потім створюються нові елементи наступного рівня.

Візьмемо n-вимірний багатогранник з елементами (i-вимірна грань, i = 0, …, n). Призматичний ()-вимірний багатогранник буде мати елементів розмірності i (при , ).

За розмірностями:

  • Беремо багатокутник з n вершинами і n сторонами. Отримаємо призму з 2n вершинами, 3n ребрами і гранями.
  • Беремо багатогранник з v вершинами, e ребрами і f гранями. Отримуємо (4-вимірну) призму з 2v вершинами, ребрами, гранями і комірками.
  • Беремо 4-вимірний багатогранник з v вершинами, e ребрами, f гранями і c комірками. Отримуємо (5-вимірну) призму з 2v вершинами, ребрами, (2-вимірними) гранями, комірками гіперкомірками.

Однорідні призматичні багатогранники

Правильний n-багатогранник, представлений символом Шлефлі {p, q, ..., t}, може утворити однорідний призматичний багатогранник розмірності (n + 1), представлений прямим добутком двох символів Шлефлі: {p, q, ..., t}×{}.

За розмірностями:

  • Призма з 0-вимірного багатогранника — це відрізок, що подається порожнім символом Шлефлі {}.
    • Complete graph K2.svg
  • Призма з 1-вимірного багатогранника — це прямокутник, отриманий з двох відрізків. Ця призма подається як добуток символів Шлефлі {}×{}. Якщо призма є квадратом, запис можна скоротити: {}×{} = {4}.
    • Square diagonals.svgПриклад: Квадрат, {}×{}, два паралельні відрізки, з'єднані двома іншими відрізками, сторонами.
  • багатокутна призма — це 3-вимірна призма, отримана з двох багатокутників (один отриманий паралельним перенесенням іншого), які пов'язані прямокутниками. З правильного багатокутника {p} можна отримати однорідну n-кутну призму, подану добутком {p}×{}. Якщо p = 4, призма стає кубом: {4}×{} = {4, 3}.
  • 4-вимірна призма, отримана з двох багатогранників (один отримано паралельним перенесенням іншого), зв'язаних 3-вимірними призматичними комірками. З правильного багатогранника {pq} можна отримати однорідну 4-вимірну призму, подану добутком {pq}×{}. Якщо багатогранник є кубом і сторони призми теж куби, призма перетворюється на тесеракт: {4, 3}×{} = {4, 3, 3}.

Призматичні багатогранники більш високих розмірностей також існують як прямі добутки двох будь-яких багатогранників. Розмірність призматичного багатогранника дорівнює добутку розмірностей елементів добутку. Перший приклад такого добутку існує в 4-вимірному просторі і називається дуопризмами[ru], які отримуються, як добуток двох багатокутників. Правильні дуопризми подаються символом {p}×{q}.

Скручена призма і антипризма

Скручена призма — це неопуклий призматичний багатогранник, отриманий з однорідної q-кутної призми шляхом поділу бічних граней діагоналлю і обертання верхньої основи, зазвичай на кут радіан ( градусів), в напрямку, за якого сторони стають увігнутими[3][4].

Скручена призма не може бути розбита на тетраедри без уведення нових вершин. Найпростіший приклад з трикутними основами називається багатогранником Шенхардта[ru].

Скручена призма топологічно ідентична антипризмі, але має половину симетрій: Dn, [n,2]+, порядку 2n. Цю призму можна розглядати як опуклу антипризму, у якої видалено тетраедри між парами трикутників.

Трикутна Чотирикутні 12-кутна
Οκτάεδρον.svg
Багатогранник Шенхардта
Twisted square antiprism.png
Скручена квадратна антипризма
Square antiprism.png
Квадратна антипризма
Twisted dodecagonal antiprism.png
Скручена дванадцятикутна антипризма

Пов'язані багатогранники і мозаїки

Родина правильних призм
Багатокутник Triangular prism.png Tetragonal prism.png Pentagonal prism.png Hexagonal prism.png Prism 7.png Octagonal prism.png Prism 9.png Decagonal prism.png Hendecagonal prism.png Dodecagonal prism.png Heptadecagonal Prism.svg Circular cylinder rh.svg
Мозаїка Spherical triangular prism.png Spherical square prism.png Spherical pentagonal prism.png Spherical hexagonal prism.png Spherical heptagonal prism.png Spherical octagonal prism.png Spherical decagonal prism.png Infinite prism tiling.png
Конфігурація 3.4.4 4.4.4 5.4.4[ru] 6.4.4[ru] 7.4.4[en] 8.4.4[ru] 9.4.4[en] 10.4.4[en] 11.4.4[en] 12.4.4[en] 17.4.4 ∞.4.4[ru]
Родина опуклих куполів[ru]
n 2 3 4 5 6
Назва {2} t{2} {3} t{3} {4} t{4} {5} t{5} {6} t{6}
Купол Triangular prism wedge.png
Діагональний купол
Triangular cupola.png
Трискатний купол[ru]
Square cupola.png
Чотирискатний купол[ru]
Pentagonal cupola.png
П’ятискатний купол[en]
Hexagonal cupola flat.png
Шестискатний купол
(плоский)
Пов'язані
однорідні
многогранники
Трикутна призма
CDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
Кубооктаедр
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
Ромбокубооктаедр
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
Ромбоікосододекаедр[en]
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
Ромботришестикутна
мозаїка
[en]CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png

Симетрії

Призми топологічно є частиною послідовності однорідних зрізаних багатогранників з конфігураціями вершин (3.2 n.2n) і [n,3].

Призми топологічно є частиною послідовності скошених багатогранників з вершинними фігурами (3.4.n.4) і мозаїк на гіперболічній площині. Ці вершиннотранзитивні фігури мають (*n32) дзеркальну симетрію[en].

З'єднання багатогранників

Існує 4 однорідні з'єднання трикутних призм:

З’єднання чотирьох трикутних призм[en], з’єднання восьми трикутних призм[en], з’єднання десяти трикутних призм[en], з’єднання двенадцати трикутних призм[en].

Стільники

Існує 9 однорідних стільників, що включають комірки у вигляді трикутних призм:

Пов'язані багатогранники

Трикутна призма є першим багатогранником в ряду напівправильних багатогранників[en]. Кожен наступний однорідний багатогранник[en] містить в якості вершинної фігури[ru] попередній багатогранник. Торольд Госсет[en] ідентифікував цю серію в 1900 як таку, що містить всі фасети правильних багатовимірних багатогранників, всі симплекси і ортоплекси (правильні трикутники і квадрати для випадку трикутних призм). У нотації Коксетера трикутна призма задається символом −121.

Чотиривимірний простір

Трикутна призма є коміркою у багатьох чотиривимірних однорідних 4-вимірних багатогранниках[en], включно з:

тетраедральна призма[en]

CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
октаедральна призма[en]

CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
кубооктаедральна призма[en]

CDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
ікосаедральна призма[en]

CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
ікосододекаедральна призма[en]

CDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
зрізана додекаедральна призма[en]

CDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
Tetrahedral prism.png Octahedral prism.png Cuboctahedral prism.png Icosahedral prism.png Icosidodecahedral prism.png Truncated dodecahedral prism.png
ромбоікосі-
додекаедральна призма
[en]

CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
ромбокуб-
октаедральна призма
[en]

CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
зрізана кубічна призма[en]

CDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
плосконоса додекаедральна призма[en]

CDel node h.pngCDel 5.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
n-кутна антипризматична призма[en]

CDel node h.pngCDel n.pngCDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node h.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
Rhombicosidodecahedral prism.png Rhombicuboctahedral prism.png Truncated cubic prism.png Snub dodecahedral prism.png Square antiprismatic prism.png
скошений 5-комірник[en]

CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
скошено-зрізаний 5-комірник[en]

CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
обструганий 5-комірник[en]

CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
струг-зрізаний 5-комірник[en]

CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
скошений тесеракт[en]

CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
скошено-зрізаний тесеракт[en]

CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
обструганий тесеракт[en]

CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
струг-зрізаний тесеракт[en]

CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
4-simplex t02.svg 4-simplex t012.svg 4-simplex t03.svg 4-simplex t013.svg 4-cube t02.svg 4-cube t012.svg 4-cube t03.svg 4-cube t013.svg
скошений 24-комірник[en]

CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
скошено-зрізаний 24-комірник[en]

CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
обструганий 24-комірник[en]

CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
струг-зрізаний 24-комірник[en]

CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
скошений 120-комірник[en]

CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
скошено-зрізаний 120-комірник[en]

CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
обструганий 120-комірник[en]

CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
струг-зрізаний 120-комірник[en]

CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
24-cell t02 F4.svg 24-cell t012 F4.svg 24-cell t03 F4.svg 24-cell t013 F4.svg 120-cell t02 H3.png 120-cell t012 H3.png 120-cell t03 H3.png 120-cell t013 H3.png

Примітки

Див. також

Література

  • William F. Kern, James R. Bland. Solid Mensuration with proofs. — 1938.
  • Catherine A. Gorini. The facts on file: Geometry handbook. — New York : Infobase Publishing, 2003. — (Facts on file).
  • Anthony Pugh. Chapter 2: Archimedean polyhedra, prisma and antiprisms // Polyhedra: A visual approach. — California : University of California Press Berkeley, 1976. — ISBN 0-520-03056-7.

Посилання