Принцип вибуху

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Принцип вибуху (лат. ex falso (sequitur) quodlibet (EFQ), «з брехні, що завгодно (слідує)», або лат. ex contradictione (sequitur) quodlibet (ECQ), «з протиріччя, що завгодно (слідує)») — правило класичної логіки, інтуїціоністської логіки та подібних логічних систем для яких, будь-яке твердження можна вивести із суперечності.[1] Тобто, якщо допустити протиріччя, тоді будь-яке висловлювання (разом з його запереченням) буде наслідком протиріччя.

Для демонстрації принципу розглянемо два протилежних твердження — «Усі лимони є жовтими» та «Не усі лимони є жовтими», та припустимо, що обидва одночасно істинні. У цьому випадку, будь-що можна довести, наприклад «Єдинороги існують», користуючись цим доведенням:

  1. Ми знаємо що «Усі лимони є жовтими», оскільки це визначено як істина.
  2. Таким чином, твердження («Усі лимони є жовтими» АБО «Єдинороги існують») також має бути істинним, оскільки перша частина істинна.
  3. У випадку, якщо «Не усі лимони є жовтими» (що теж визначено як істина), єдинороги повинні існувати — інакше твердження 2 не є істинним. Так ми «довели», що єдинороги існують. Так можна довести будь-яке твердження і «Єдинороги не існують» у тому числі.

Через принцип вибуху, існування суперечності у формальній системі аксіом є катастрофою; оскільки будь-яке твердження можна довести, це знецінює поняття істинності.[2] У 20 столітті, виявлення суперечностей, таких як парадокс Расселла у засадах математики поставило під загрозу усю структуру математики. Багато математиків, таких як Готлоб Фреге, Ернст Цермело, Абрахам Френкель, і Туралф Скулем доклали багато зусиль до перегляду теорії множин, для позбавлення від цих суперечностей, що призвело до створення сучасної теорії множин Цермело — Френкеля.

Як інше рішення цих проблем, деякі математики створили альтернативні теорії логіки названі параконсистентною логікою[en], які позбавляються принципу вибуху. Вони дозволяють довести деякі суперечливі твердження без впливу на інші доведення. У штучному інтелекті та моделях людської причинності така логіка часто використовується.

Символьна форма

У символічній логіці, принцип вибуху можна записати так:

(Для будь-яких тверджень P та Q, якщо P та не-P обидва істинні, тоді Q істинне.)

Доведення

Формальне доведення користуючись символічною логікою:

  1. із (1) виключенням кон'юнкції
  2. із (1) виключенням кон'юнкції
  3. із (2) введенням диз'юнкції
  4. із (3) та (4) за допомогою диз'юнктивного сиолоґізму
  5. із (5) умовним доведенням

Це символьна версія неформального доведення, де це «Усі лимони є жовтими» і це «Єдинороги існують». Із «Усі лимони є жовтими та не усі лимони є жовтими»(1) ми отримуємо «Усі лимони є жовтими»(2) та «Не усі лимони є жовтими»(3); із «Усі лимони є жовтими»(2) ми отримуємо «Усі лимони є жовтими або єдинороги існують»(4);із «Не усі лимони є жовтими»(3) та «Усі лимони є жовтими або єдинороги існують»(4), ми робимо висновок що «Єдинороги існують»(5). Таким чином, якщо усі лимони є жовтими або не є жовтими, єдинороги існують.

Семантичне доведення

Альтернативне доведення принципу походить з теорії моделей. Речення це умовивід множини речень , тільки якщо кожна модель це модель . Але не може існувати моделі суперечливої множини. Це означає, що не існує моделі яка не є моделлю . Виходить кожна модель це модель .У результаті це умовивід .

Параконсистентна логіка

Параконсистентна логіка була створена дозволяти використання операторів створюючих суперечності. Теоретико-модельні параконсистентні логіки зазвичай заперечують неіснування моделі{} та створюють семантичні системи, в яких такі моделі існують. Вони також відкидають ідею того, що висловлювання можна оцінювати як істинні та неістинні. Теоретико-доказові параконсистентні логіки зазвичай відкидають один із кроків, необхідних для вибуху, наприклад диз'юнктивний сиолоґізм.

Використання

Метаматематична цінність принципу вибуху у тому, що будь-яка теорія яка доводить ⊥ (або еквівалентну форму, ) є беззмістовною, оскільки будь-яке її твердження стане теоремою, роблячи неможливим відрізнення істини від хиби. Принцип вибуху є причиною закону суперечності у класичній логіці, оскільки без нього будь-яке істинне твердження втратить усякий зміст.

Примітки

  1. Carnielli, W. and Marcos, J. (2001) «Ex contradictione non sequitur quodlibet» Proc. 2nd Conf. on Reasoning and Logic (Bucharest, July 2000)
  2. McKubre-Jordens, Maarten (August 2011). This is not a carrot: Paraconsistent mathematics. Plus Magazine. Millennium Mathematics Project. Процитовано January 14, 2017.