Відмінності між версіями «Проєкція Меркатора»

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
[перевірена версія][очікує на перевірку]
(Виправлено джерел: 1; позначено як недійсні: 0. #IABot (v2.0beta15))
м (→‎Див. також: правопис за допомогою AWB)
 
(Не показано 2 проміжні версії ще одного користувача)
Рядок 1: Рядок 1:
[[Файл:Mercator projection SW.jpg|thumb|400px|right|Карта світу в проекції Меркатора]]
+
[[Файл:Mercator projection SW.jpg|thumb|400px|right|Карта світу в проєкції Меркатора]]
 
[[Файл: Mercator 1569.png | thumb | 400px | right | Меркаторова карта світу 1569]]
 
[[Файл: Mercator 1569.png | thumb | 400px | right | Меркаторова карта світу 1569]]
   
'''Рівнокутна циліндрична проекція Меркатора''' — одна з основних [[картографічна проекція | картографічних проекцій]]. Розроблена [[Герард Меркатор | Герардом Меркатором]] для застосування в його «Атласі».
+
'''Рівнокутна циліндрична проєкція Меркатора''' — одна з основних [[Картографічна проєкція|картографічних проєкцій]]. Розроблена [[Герард Меркатор | Герардом Меркатором]] для застосування в його «Атласі».
   
«Рівнокутна» в назві проекції підкреслює те, що проекція зберігає кути між напрямками. Всі [[локсодрома | локсодроми]] в ній зображуються прямими лініями. [[Меридіан]]и в проекції Меркатора представляються паралельними рівновіддаленими лініями. [[Паралель | Паралелі]] ж являють собою паралельні лінії, відстань між якими дорівнює відстані між меридіанами в районі [[екватор]]а і швидко збільшується при наближенні до [[Географічний полюс|полюс]]ів. Самі полюси не можуть бути зображені на проекції Меркатора (вони відповідають особливості функції, що відображає координати на сфері координатами на площині), тому зазвичай карту в проекції Меркатора обмежують областями до 80-85° градусів північної і південної [[широта | широти]].
+
«Рівнокутна» в назві проєкції підкреслює те, що проєкція зберігає кути між напрямками. Всі [[локсодрома | локсодроми]] в ній зображуються прямими лініями. [[Меридіан]]и в проєкції Меркатора представляються паралельними рівновіддаленими лініями. [[Паралель | Паралелі]] ж являють собою паралельні лінії, відстань між якими дорівнює відстані між меридіанами в районі [[екватор]]а і швидко збільшується при наближенні до [[Географічний полюс|полюс]]ів. Самі полюси не можуть бути зображені на проєкції Меркатора (вони відповідають особливості функції, що відображає координати на сфері координатами на площині), тому зазвичай карту в проєкції Меркатора обмежують областями до 80-85° градусів північної і південної [[широта | широти]].
   
[[Масштаб]] на карті в цій проекції не є постійним, він збільшується від екватора до полюсів (як зворотний [[косинус]] широти), однак масштаби по вертикалі і по горизонталі завжди рівні, чим, власне, і досягається рівнокутність проекції. На картах в даній проекції завжди вказується, до якої паралелі відноситься основний масштаб карти.
+
[[Масштаб]] на карті в цій проєкції не є постійним, він збільшується від екватора до полюсів (як зворотний [[косинус]] широти), однак масштаби по вертикалі і по горизонталі завжди рівні, чим, власне, і досягається рівнокутність проєкції. На картах в даній проєкції завжди вказується, до якої паралелі відноситься основний масштаб карти.
   
[[Файл: Tissot mercator.png | thumb | right | 200px | Спотворення площ в проекції Меркатора]]
+
[[Файл: Tissot mercator.png | thumb | right | 200px | Спотворення площ в проєкції Меркатора]]
   
Оскільки проекція Меркатора має різний масштаб на різних ділянках, ця проекція не зберігає площі. Якщо основний масштаб відноситься до екватора, то найбільші спотворення розмірів об'єктів будуть біля полюсів. Це добре помітно на мапах у цій проекції: на них [[Гренландія]] здається в 2-3 рази більшою від [[Австралія | Австралії]] і порівнянна за розмірами з [[Південна Америка | Південною Америкою]]. У реальності Гренландія втричі менша від Австралії і у 8 разів менша від Південної Америки.
+
Оскільки проєкція Меркатора має різний масштаб на різних ділянках, ця проєкція не зберігає площі. Якщо основний масштаб відноситься до екватора, то найбільші спотворення розмірів об'єктів будуть біля полюсів. Це добре помітно на мапах у цій проєкції: на них [[Гренландія]] здається в 2-3 рази більшою від [[Австралія | Австралії]] і порівнянна за розмірами з [[Південна Америка | Південною Америкою]]. У реальності Гренландія втричі менша від Австралії і у 8 разів менша від Південної Америки.
   
Проекція Меркатора виявилася досить зручною для потреб мореплавства, особливо в давні часи. Пояснюється це тим, що траєкторія руху корабля, що йде [[локсодрома | під одним і тим же румбом]] до меридіану (тобто з незмінним положенням стрілки [[компас]]а щодо шкали) зображається прямою лінією на карті в проекції Меркатора.
+
Проєкція Меркатора виявилася досить зручною для потреб мореплавства, особливо в давні часи. Пояснюється це тим, що траєкторія руху корабля, що йде [[локсодрома | під одним і тим же румбом]] до меридіану (тобто з незмінним положенням стрілки [[компас]]а щодо шкали) зображається прямою лінією на карті в проєкції Меркатора.
   
== Математичне представлення проекції Меркатора ==
+
== Математичне представлення проєкції Меркатора ==
[[Файл: Mercator grid.png | thumb | Карта світу в проекції Меркатора з координатними лініями, проведеними через 20°.]]
+
[[Файл: Mercator grid.png | thumb | Карта світу в проєкції Меркатора з координатними лініями, проведеними через 20°.]]
Для початку розглянемо найпростіший варіант проекції Меркатора: проекцію [[Сфера|сфери]] на [[циліндр]]. Цей варіант не враховує сплюснутість Землі біля полюсів. Циліндричність проекції відразу дає нам вираз для горизонтальної координати на карті: вона просто пропорційна [[довгота | довготі]] точки
+
Для початку розглянемо найпростіший варіант проєкції Меркатора: проєкцію [[Сфера|сфери]] на [[циліндр]]. Цей варіант не враховує сплюснутість Землі біля полюсів. Циліндричність проєкції відразу дає нам вираз для горизонтальної координати на карті: вона просто пропорційна [[довгота | довготі]] точки
 
<math>\lambda</math> (при використанні в розрахунках слід врахувати, що представлятися ця величина повинна в радіанах)
 
<math>\lambda</math> (при використанні в розрахунках слід врахувати, що представлятися ця величина повинна в радіанах)
 
: <math>x=c(\lambda-\lambda_0)</math>.
 
: <math>x=c(\lambda-\lambda_0)</math>.
Рядок 36: Рядок 36:
 
\end{matrix}
 
\end{matrix}
 
</math>
 
</math>
  +
Тепер неважко отримати вирази для рівнокутної проекції з урахуванням [[еліпсоїд]]альної форми Землі. Для цього треба записати [[метрична форма | метричну форму]] для еліпсоїда (''a''&nbsp;— велика піввісь, ''b''&nbsp;— менша) в географічних координатах
+
Тепер неважко отримати вирази для рівнокутної проєкції з урахуванням [[еліпсоїд]]альної форми Землі. Для цього треба записати [[метрична форма | метричну форму]] для еліпсоїда (''a''&nbsp;— велика піввісь, ''b''&nbsp;— менша) в географічних координатах
 
: <math>
 
: <math>
 
dl^2=\frac{a^2 d\lambda^2}{1+\frac{a^2}{b^2}\operatorname{tg}^2\theta}+\frac{b^4}{a^2}\frac{d\theta^2}{(\cos^2\theta+\frac{b^2}{a^2}\sin^2\theta)^3},
 
dl^2=\frac{a^2 d\lambda^2}{1+\frac{a^2}{b^2}\operatorname{tg}^2\theta}+\frac{b^4}{a^2}\frac{d\theta^2}{(\cos^2\theta+\frac{b^2}{a^2}\sin^2\theta)^3},
Рядок 56: Рядок 57:
   
 
== Посилання ==
 
== Посилання ==
* [http://randewy.narod.ru/nav/ucheb27.html Проекція Меркатора в підручнику з морської навігації]
+
* [http://randewy.narod.ru/nav/ucheb27.html Проєкція Меркатора в підручнику з морської навігації]
 
* [https://web.archive.org/web/20150112080922/http://gmaps-samples.googlecode.com/svn/trunk/poly/puzzledrag.html Головоломка Меркатора] від [[Google Maps]]
 
* [https://web.archive.org/web/20150112080922/http://gmaps-samples.googlecode.com/svn/trunk/poly/puzzledrag.html Головоломка Меркатора] від [[Google Maps]]
   
Рядок 62: Рядок 63:
   
 
* [[Картографія]]
 
* [[Картографія]]
* [[Перелік картографічних проекцій]]
+
*[[Перелік картографічних проєкцій]]
   
 
{{Карти і глобуси}}
 
{{Карти і глобуси}}
 
 
[[Категорія:Картографічні проекції]]
+
[[Категорія:Картографічні проєкції]]

Поточна версія на 09:39, 13 лютого 2020

Карта світу в проєкції Меркатора
Меркаторова карта світу 1569

Рівнокутна циліндрична проєкція Меркатора — одна з основних картографічних проєкцій. Розроблена Герардом Меркатором для застосування в його «Атласі».

«Рівнокутна» в назві проєкції підкреслює те, що проєкція зберігає кути між напрямками. Всі локсодроми в ній зображуються прямими лініями. Меридіани в проєкції Меркатора представляються паралельними рівновіддаленими лініями. Паралелі ж являють собою паралельні лінії, відстань між якими дорівнює відстані між меридіанами в районі екватора і швидко збільшується при наближенні до полюсів. Самі полюси не можуть бути зображені на проєкції Меркатора (вони відповідають особливості функції, що відображає координати на сфері координатами на площині), тому зазвичай карту в проєкції Меркатора обмежують областями до 80-85° градусів північної і південної широти.

Масштаб на карті в цій проєкції не є постійним, він збільшується від екватора до полюсів (як зворотний косинус широти), однак масштаби по вертикалі і по горизонталі завжди рівні, чим, власне, і досягається рівнокутність проєкції. На картах в даній проєкції завжди вказується, до якої паралелі відноситься основний масштаб карти.

Спотворення площ в проєкції Меркатора

Оскільки проєкція Меркатора має різний масштаб на різних ділянках, ця проєкція не зберігає площі. Якщо основний масштаб відноситься до екватора, то найбільші спотворення розмірів об'єктів будуть біля полюсів. Це добре помітно на мапах у цій проєкції: на них Гренландія здається в 2-3 рази більшою від Австралії і порівнянна за розмірами з Південною Америкою. У реальності Гренландія втричі менша від Австралії і у 8 разів менша від Південної Америки.

Проєкція Меркатора виявилася досить зручною для потреб мореплавства, особливо в давні часи. Пояснюється це тим, що траєкторія руху корабля, що йде під одним і тим же румбом до меридіану (тобто з незмінним положенням стрілки компаса щодо шкали) зображається прямою лінією на карті в проєкції Меркатора.

Математичне представлення проєкції Меркатора[ред. | ред. код]

Карта світу в проєкції Меркатора з координатними лініями, проведеними через 20°.

Для початку розглянемо найпростіший варіант проєкції Меркатора: проєкцію сфери на циліндр. Цей варіант не враховує сплюснутість Землі біля полюсів. Циліндричність проєкції відразу дає нам вираз для горизонтальної координати на карті: вона просто пропорційна довготі точки (при використанні в розрахунках слід врахувати, що представлятися ця величина повинна в радіанах)

.

Умова рівнокутності — це просто рівність масштабів по горизонтальній та вертикальній осі. Оскільки масштаб по осі X на широті рівний просто (R — радіус Землі), то з умови ми одержуєм вираз для залежності y від

.

Зворотне перетворення

Тепер неважко отримати вирази для рівнокутної проєкції з урахуванням еліпсоїдальної форми Землі. Для цього треба записати метричну форму для еліпсоїда (a — велика піввісь, b — менша) в географічних координатах

перейти в ній до координат x та y і прирівняти масштаби по осях. Після дещо марудного інтегрування одержуєм

Тут  — ексцентриситет земного еліпсоїда. Зворотне перетворення не виражається в елементарних функціях, але рівняння для зворотного перетворення легко розв'язати методом теорії збурень за малим .

Ітераційна формула для зворотного перетворення має такий вигляд:

, де можна взяти рівним 0 або приблизно розрахувати за формулою для сфероїда.

Посилання[ред. | ред. код]

Див. також[ред. | ред. код]