Відмінності між версіями «Піраміда (геометрія)»

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
[перевірена версія][перевірена версія]
(→‎Формули: Виправлено помилку)
Мітки: Редагування з мобільного пристрою Редагування через мобільну версію
Рядок 20: Рядок 20:
   
 
== Формули ==
 
== Формули ==
* Площа бічної поверхні правильної піраміди дорівнює добутку половини периметра (півпериметру) основи на апофему:<br /> <math>S_b = \frac{1}{2} P l = \frac{n}{2} b^2 \sin \alpha</math>,<br />де '''''P'''''&nbsp;— периметр, '''''l'''''&nbsp;— [[апофема]], '''''n'''''&nbsp;— число сторін основи, '''''b'''''&nbsp;— бічне ребро, <math> \alpha</math>&nbsp;— кут при вершині піраміди
+
* Площа бічної поверхні правильної піраміди дорівнює добутку половини периметра (півпериметру) основи на апофему:<br /> <math>S_b = \frac{1}{2} p l = \frac{n}{2} b^2 \sin \alpha</math>,<br />де '''''P'''''&nbsp;— периметр, '''''l'''''&nbsp;— [[апофема]], '''''n'''''&nbsp;— число сторін основи, '''''b'''''&nbsp;— бічне ребро, <math> \alpha</math>&nbsp;— кут при вершині піраміди
 
* Об'єм піраміди дорівнює одній третій добутку площі її основи '''''S''''' на висоту '''''h''''':<br /> <math>V = \frac{1}{3} S h</math>
 
* Об'єм піраміди дорівнює одній третій добутку площі її основи '''''S''''' на висоту '''''h''''':<br /> <math>V = \frac{1}{3} S h</math>
  +
 
== Особливі випадки піраміди ==
 
== Особливі випадки піраміди ==
   

Версія за 08:35, 20 травня 2018

Неправильна шестигранна піраміда.
Елементи піраміди.

Пірамі́да (також рогівниця, гостриця, остриця) — многогранник, який складається з плоского багатокутника і точки (яка не лежить у площині основи) та всіх відрізків, що сполучають вершину піраміди з точками основи. Відрізки, що сполучають вершину піраміди з вершинами основи, називаються бічними ребрами.

Опис

Поверхня піраміди складається з основи і бічних граней. Кожна бічна грань — трикутник. Однією з його вершин є вершина піраміди, а протилежною стороною — сторона основи піраміди.

Висотою піраміди є перпендикуляр, опущений з вершини піраміди на площину основи.

Піраміда називається n-кутною, якщо її основою є n-кутник. Для трикутної піраміди існує власна назва — чотиригранник.

Надалі розглядатимемо лише піраміди з опуклим багатокутником в основі. Такі піраміди називаються опуклими многогранниками.

Правильна піраміда (довершена) — якщо її основою є правильний багатокутник, центр якого збігається з основою висоти піраміди. Бічна поверхня правильної піраміди дорівнює добутку півпериметра основи на апофему.

Вісь правильної піраміди — пряма, яка містить її висоту. У правильній піраміді бічні ребра рівні між собою, а бічні грані — рівні рівнобедрені трикутники.

Висота бічної грані правильної піраміди, проведена з її вершини, називається апофемою. Бічною поверхнею піраміди називається сума площ її бічних граней.

Формули

  • Площа бічної поверхні правильної піраміди дорівнює добутку половини периметра (півпериметру) основи на апофему:
    ,
    де P — периметр, l — апофема, n — число сторін основи, b — бічне ребро,  — кут при вершині піраміди
  • Об'єм піраміди дорівнює одній третій добутку площі її основи S на висоту h:

Особливі випадки піраміди

Правильна піраміда

Піраміда називається правильною, якщо основою її є правильний багатокутник, а вершина проектується в центр основи. Тоді вона має такі властивості:

  • Бічні ребра правильної піраміди рівні;
  • В правильній піраміді всі бічні грані - конгруентні трикутники;
  • В будь-яку правильну піраміду можна як вписати, так і описати навколо неї сферу;
  • Якщо центри вписаної і описаної сфери збігаються, то сума плоских кутів при вершині піраміди дорівнює , а кожен з них відповідно , де n - кількість сторін багатокутника основи[1];
  • Площа бічної поверхні правильної піраміди дорівнює половині добутку периметра основи на апофему.

Прямокутна піраміда

Піраміда називається прямокутною, якщо одне з бічних ребер піраміди перпендикулярне основі. В даному випадку, це ребро і є висотою піраміди.

Тетраедр

Тетраедром називається трикутна піраміда. У тетраедра кожна з граней може бути прийнята за основу піраміди. Крім того, існує велика різниця між поняттями «правильна трикутна піраміда» і «правильний тетраедр». Правильна трикутна піраміда - це піраміда з правильним трикутником в основі (межі ж повинні бути рівнобокими трикутниками). Правильним тетраедром є тетраедр, у якого всі грані є рівносторонніми трикутниками.

Властивості

Такі три твердження є еквівалентними:

  1. Бокові ребра піраміди рівні;
  2. Бокові ребра піраміди нахилені до площини її основи під рівними кутами;
  3. Проекція вершини піраміди на площину її основи збігається з центром кола, описаного навколо основи.

Такі три твердження також є еквівалентними:

  1. Вершина піраміди рівновіддалена від усіх сторін її основи;
  2. Двогранні кути при основі піраміди рівні;
  3. Вершина піраміди проектується до центру кола, вписаного в її основу.

Зрізана піраміда утворена пірамідою та площиною, яка паралельна до основи піраміди та перетинає її, відтинаючи подібну піраміду.

Див. також

Примітки

Джерела