Відмінності між версіями «Піраміда (геометрія)»

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
[перевірена версія][перевірена версія]
(Виправлено джерел: 1; позначено як недійсні: 0. #IABot (v2.0beta14))
Рядок 33: Рядок 33:
 
* В правильній піраміді всі бічні грані - [[Конгруентність (геометрія) | конгруентні]] трикутники;
 
* В правильній піраміді всі бічні грані - [[Конгруентність (геометрія) | конгруентні]] трикутники;
 
* В будь-яку правильну піраміду можна як вписати, так і описати навколо неї сферу;
 
* В будь-яку правильну піраміду можна як вписати, так і описати навколо неї сферу;
* Якщо центри вписаної і описаної сфери збігаються, то сума плоских кутів при вершині піраміди дорівнює <math>\pi</math>, а кожен з них відповідно <math>\frac{\pi}{n}</math>, де n - кількість сторін багатокутника основи<ref>''Готман Э.'' [http://kvant.mirror1.mccme.ru/1998/04/index.htm Свойства правильной пирамиды, вписанной в сферу] // Квант. — 1998. — № 4.</ref>;
+
* Якщо центри вписаної і описаної сфери збігаються, то сума плоских кутів при вершині піраміди дорівнює <math>\pi</math>, а кожен з них відповідно <math>\frac{\pi}{n}</math>, де n - кількість сторін багатокутника основи<ref>''Готман Э.'' [http://kvant.mirror1.mccme.ru/1998/04/index.htm Свойства правильной пирамиды, вписанной в сферу] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20120122015916/http://kvant.mirror1.mccme.ru/1998/04/index.htm |date=22 січень 2012 }} // Квант. — 1998. — № 4.</ref>;
 
* Площа бічної поверхні правильної піраміди дорівнює половині добутку [[периметр]]а основи на апофему.
 
* Площа бічної поверхні правильної піраміди дорівнює половині добутку [[периметр]]а основи на апофему.
   

Версія за 18:53, 28 квітня 2019

Неправильна шестигранна піраміда.
Елементи піраміди.

Пірамі́да (також рогівниця, гостриця, остриця) — многогранник, який складається з плоского багатокутника і точки (яка не лежить у площині основи) та всіх відрізків, що сполучають вершину піраміди з точками основи. Відрізки, що сполучають вершину піраміди з вершинами основи, називаються бічними ребрами.

Пряма піраміда це піраміда із вершиною, яка розміщена прямо над центром її основи. Не правильні піраміди називають похиленими пірамідами. Правильна піраміда має в основі правильний многокутник.[1][2]

Опис

Поверхня піраміди складається з основи і бічних граней. Кожна бічна грань — трикутник. Однією з його вершин є вершина піраміди, а протилежною стороною — сторона основи піраміди.

Висотою піраміди є перпендикуляр, опущений з вершини піраміди на площину основи.

Піраміда називається n-кутною, якщо її основою є n-кутник. Для трикутної піраміди існує власна назва — чотиригранник.

Надалі розглядатимемо лише піраміди з опуклим багатокутником в основі. Такі піраміди називаються опуклими многогранниками.

Правильна піраміда (довершена) — якщо її основою є правильний багатокутник, центр якого збігається з основою висоти піраміди. Бічна поверхня правильної піраміди дорівнює добутку півпериметра основи на апофему.

Вісь правильної піраміди — пряма, яка містить її висоту. У правильній піраміді бічні ребра рівні між собою, а бічні грані — рівні рівнобедрені трикутники.

Висота бічної грані правильної піраміди, проведена з її вершини, називається апофемою. Бічною поверхнею піраміди називається сума площ її бічних граней.

Формули

  • Площа бічної поверхні правильної піраміди дорівнює добутку половини периметра (півпериметру) основи на апофему:
    ,
    де P — периметр, l — апофема, n — число сторін основи, b — бічне ребро,  — кут при вершині піраміди
  • Об'єм піраміди дорівнює одній третій добутку площі її основи S на висоту h:

Особливі випадки піраміди

Правильна піраміда

Піраміда називається правильною, якщо основою її є правильний багатокутник, а вершина проектується в центр основи. Тоді вона має такі властивості:

  • Бічні ребра правильної піраміди рівні;
  • В правильній піраміді всі бічні грані - конгруентні трикутники;
  • В будь-яку правильну піраміду можна як вписати, так і описати навколо неї сферу;
  • Якщо центри вписаної і описаної сфери збігаються, то сума плоских кутів при вершині піраміди дорівнює , а кожен з них відповідно , де n - кількість сторін багатокутника основи[3];
  • Площа бічної поверхні правильної піраміди дорівнює половині добутку периметра основи на апофему.

Прямокутна піраміда

Піраміда називається прямокутною, якщо одне з бічних ребер піраміди перпендикулярне основі. В даному випадку, це ребро і є висотою піраміди.

Тетраедр

Тетраедром називається трикутна піраміда. У тетраедра кожна з граней може бути прийнята за основу піраміди. Крім того, існує велика різниця між поняттями «правильна трикутна піраміда» і «правильний тетраедр». Правильна трикутна піраміда - це піраміда з правильним трикутником в основі (межі ж повинні бути рівнобокими трикутниками). Правильним тетраедром є тетраедр, у якого всі грані є рівносторонніми трикутниками.

Властивості

Такі три твердження є еквівалентними:

  1. Бокові ребра піраміди рівні;
  2. Бокові ребра піраміди нахилені до площини її основи під рівними кутами;
  3. Проекція вершини піраміди на площину її основи збігається з центром кола, описаного навколо основи.

Такі три твердження також є еквівалентними:

  1. Вершина піраміди рівновіддалена від усіх сторін її основи;
  2. Двогранні кути при основі піраміди рівні;
  3. Вершина піраміди проектується до центру кола, вписаного в її основу.

Зрізана піраміда утворена пірамідою та площиною, яка паралельна до основи піраміди та перетинає її, відтинаючи подібну піраміду.

Див. також

Примітки

  1. William F. Kern, James R Bland,Solid Mensuration with proofs, 1938, p.46
  2. Civil Engineers' Pocket Book: A Reference-book for Engineers Архівовано 2018-02-25 у Wayback Machine.
  3. Готман Э. Свойства правильной пирамиды, вписанной в сферу Архівовано 22 січень 2012 у Wayback Machine. // Квант. — 1998. — № 4.

Джерела