Відмінності між версіями «Піраміда (геометрія)»

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
[перевірена версія][перевірена версія]
(Виправлено джерел: 1; позначено як недійсні: 0.) #IABot (v2.0)
(Не показані 18 проміжних версій 13 користувачів)
Рядок 1: Рядок 1:
 
{{Otheruses|Піраміда}}
 
{{Otheruses|Піраміда}}
 
[[Файл:Pyramid irregular 6 no lettes.svg|thumb|150px|Неправильна шестигранна піраміда.]]
 
[[Файл:Pyramid irregular 6 no lettes.svg|thumb|150px|Неправильна шестигранна піраміда.]]
  +
[[File:Twierdzenie Krzysztonia.jpg|thumb|150px|Елементи піраміди.]]
   
'''Пірамі́да''' (також рогівниця, гостриця, остриця) — [[многогранник]], який складається з плоского [[багатокутник]]а і точки (яка не лежить у [[площина|площині]] основи) та всіх [[відрізок|відрізків]], що сполучають вершину піраміди з точками основи. Відрізки, що сполучають вершину піраміди з вершинами основи, називаються бічними ребрами.
+
'''Пірамі́да''' (також рогівниця, гостриця, остриця) — [[багатогранник]], який складається з плоского [[багатокутник]]а і точки (яка не лежить у [[площина|площині]] основи) та всіх [[відрізок|відрізків]], що сполучають вершину піраміди з точками основи. Відрізки, що сполучають вершину піраміди з вершинами основи, називаються бічними ребрами.
  +
  +
'''Пряма піраміда''' це піраміда із вершиною, яка розміщена прямо над [[Центроїд|центром]] її основи. Не правильні піраміди називають '''похиленими пірамідами'''. '''Правильна піраміда''' має в основі [[Правильний многокутник|правильний многокутник]].<ref>William F. Kern, James R Bland,''Solid Mensuration with proofs'', 1938, p.46</ref><ref>[https://books.google.com/books?id=KC1RAAAAYAAJ&pg=PA248 Civil Engineers' Pocket Book: A Reference-book for Engineers] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20180225234757/https://books.google.com/books?id=KC1RAAAAYAAJ&pg=PA248 |date=2018-02-25 }}</ref>
 
==Опис==
 
==Опис==
 
[[Поверхня]] піраміди складається з основи і бічних граней. Кожна бічна грань&nbsp;— [[трикутник]]. Однією з його вершин є вершина піраміди, а протилежною стороною&nbsp;— сторона основи піраміди.
 
[[Поверхня]] піраміди складається з основи і бічних граней. Кожна бічна грань&nbsp;— [[трикутник]]. Однією з його вершин є вершина піраміди, а протилежною стороною&nbsp;— сторона основи піраміди.
Рядок 19: Рядок 22:
   
 
== Формули ==
 
== Формули ==
* Площа бічної поверхні правильної піраміди дорівнює добутку половини периметра (півпериметру) основи на апофему:<br /> <math>S_b = \frac{1}{2} P l = \frac{n}{2} b^2 \sin \alpha</math>,<br />де '''''P'''''&nbsp;— периметр, '''''l'''''&nbsp;— [[апофема]], '''''n'''''&nbsp;— число сторін основи, '''''b'''''&nbsp;— бічне ребро, <math> \alpha</math>&nbsp;— кут при вершині піраміди
+
* Площа бічної поверхні правильної піраміди дорівнює добутку половини периметра (півпериметру) основи на апофему:<br /> <math>S_b = \frac{1}{2} p l = \frac{n}{2} b^2 \sin \alpha</math>,<br />де '''''P'''''&nbsp;— периметр, '''''l'''''&nbsp;— [[апофема]], '''''n'''''&nbsp;— число сторін основи, '''''b'''''&nbsp;— бічне ребро, <math> \alpha</math>&nbsp;— кут при вершині піраміди
 
* Об'єм піраміди дорівнює одній третій добутку площі її основи '''''S''''' на висоту '''''h''''':<br /> <math>V = \frac{1}{3} S h</math>
 
* Об'єм піраміди дорівнює одній третій добутку площі її основи '''''S''''' на висоту '''''h''''':<br /> <math>V = \frac{1}{3} S h</math>
  +
  +
== Особливі випадки піраміди ==
  +
  +
=== Правильна піраміда ===
  +
Піраміда називається правильною, якщо основою її є [[правильний багатокутник]], а вершина проектується в центр основи.
  +
Тоді вона має такі властивості:
  +
* Бічні ребра правильної піраміди рівні;
  +
* В правильній піраміді всі бічні грані - [[Конгруентність (геометрія) | конгруентні]] трикутники;
  +
* В будь-яку правильну піраміду можна як вписати, так і [[Описана сфера|описати навколо неї сферу]];
  +
* Якщо центри вписаної і описаної сфери збігаються, то сума плоских кутів при вершині піраміди дорівнює <math>\pi</math>, а кожен з них відповідно <math>\frac{\pi}{n}</math>, де n - кількість сторін багатокутника основи<ref>''Готман Э.'' [http://kvant.mirror1.mccme.ru/1998/04/index.htm Свойства правильной пирамиды, вписанной в сферу] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20120122015916/http://kvant.mirror1.mccme.ru/1998/04/index.htm |date=22 січень 2012 }} // Квант. — 1998. — № 4.</ref>;
  +
* Площа бічної поверхні правильної піраміди дорівнює половині добутку [[периметр]]а основи на апофему.
  +
  +
=== Прямокутна піраміда ===
  +
Піраміда називається прямокутною, якщо одне з бічних ребер піраміди перпендикулярне основі. В даному випадку, це ребро і є висотою піраміди.
  +
  +
=== [[Тетраедр]] ===
  +
Тетраедром називається трикутна піраміда. У тетраедра кожна з граней може бути прийнята за основу піраміди. Крім того, існує велика різниця між поняттями «правильна трикутна піраміда» і «[[правильний тетраедр]]». Правильна трикутна піраміда - це піраміда з правильним трикутником в основі (межі ж повинні бути рівнобокими трикутниками). Правильним тетраедром є тетраедр, у якого всі грані є рівносторонніми трикутниками.
   
 
== Властивості ==
 
== Властивості ==
Рядок 38: Рядок 58:
 
{{commonscat|Pyramids (geometry)}}
 
{{commonscat|Pyramids (geometry)}}
 
* [[Багатогранний конус]]
 
* [[Багатогранний конус]]
  +
* [[Зрізана піраміда]]
  +
  +
== Примітки ==
  +
{{reflist}}
   
 
== Джерела ==
 
== Джерела ==
* ''Погорєлов О. В.'' [http://shkola.ua/book/view/83 Геометрія: Стереометрія: Підруч. для 10—11 кл. серед. шк.],— 6-те вид,— К.: Освіта, 2001.— 128 с.&nbsp;— ISBN 966-04-0334-8.
+
* ''Погорєлов О. В.'' [https://web.archive.org/web/20120406133223/http://shkola.ua/book/view/83 Геометрія: Стереометрія: Підруч. для 10—11 кл. серед. шк.],— 6-те вид,— К.: Освіта, 2001.— 128 с.&nbsp;— ISBN 966-04-0334-8.
 
* Геометрія. 10-11 класи [Текст]: пробний підручник / Афанасьєва О. М. [та ін.].&nbsp;— Тернопіль: Навчальна книга&nbsp;— Богдан, 2003.&nbsp;— 264 с.&nbsp;— ISBN 966-692-161-8
 
* Геометрія. 10-11 класи [Текст]: пробний підручник / Афанасьєва О. М. [та ін.].&nbsp;— Тернопіль: Навчальна книга&nbsp;— Богдан, 2003.&nbsp;— 264 с.&nbsp;— ISBN 966-692-161-8
 
* ''Михайленко В. Є., Ковальов С. М.'' та ін. Нарисна геометрія. Підручник для вузів.&nbsp;— К.: Вища школа,1993.&nbsp;— 134с.
 
* ''Михайленко В. Є., Ковальов С. М.'' та ін. Нарисна геометрія. Підручник для вузів.&nbsp;— К.: Вища школа,1993.&nbsp;— 134с.

Версія за 17:29, 21 жовтня 2019

Неправильна шестигранна піраміда.
Елементи піраміди.

Пірамі́да (також рогівниця, гостриця, остриця) — багатогранник, який складається з плоского багатокутника і точки (яка не лежить у площині основи) та всіх відрізків, що сполучають вершину піраміди з точками основи. Відрізки, що сполучають вершину піраміди з вершинами основи, називаються бічними ребрами.

Пряма піраміда це піраміда із вершиною, яка розміщена прямо над центром її основи. Не правильні піраміди називають похиленими пірамідами. Правильна піраміда має в основі правильний многокутник.[1][2]

Опис

Поверхня піраміди складається з основи і бічних граней. Кожна бічна грань — трикутник. Однією з його вершин є вершина піраміди, а протилежною стороною — сторона основи піраміди.

Висотою піраміди є перпендикуляр, опущений з вершини піраміди на площину основи.

Піраміда називається n-кутною, якщо її основою є n-кутник. Для трикутної піраміди існує власна назва — чотиригранник.

Надалі розглядатимемо лише піраміди з опуклим багатокутником в основі. Такі піраміди називаються опуклими многогранниками.

Правильна піраміда (довершена) — якщо її основою є правильний багатокутник, центр якого збігається з основою висоти піраміди. Бічна поверхня правильної піраміди дорівнює добутку півпериметра основи на апофему.

Вісь правильної піраміди — пряма, яка містить її висоту. У правильній піраміді бічні ребра рівні між собою, а бічні грані — рівні рівнобедрені трикутники.

Висота бічної грані правильної піраміди, проведена з її вершини, називається апофемою. Бічною поверхнею піраміди називається сума площ її бічних граней.

Формули

  • Площа бічної поверхні правильної піраміди дорівнює добутку половини периметра (півпериметру) основи на апофему:
    ,
    де P — периметр, l — апофема, n — число сторін основи, b — бічне ребро,  — кут при вершині піраміди
  • Об'єм піраміди дорівнює одній третій добутку площі її основи S на висоту h:

Особливі випадки піраміди

Правильна піраміда

Піраміда називається правильною, якщо основою її є правильний багатокутник, а вершина проектується в центр основи. Тоді вона має такі властивості:

  • Бічні ребра правильної піраміди рівні;
  • В правильній піраміді всі бічні грані - конгруентні трикутники;
  • В будь-яку правильну піраміду можна як вписати, так і описати навколо неї сферу;
  • Якщо центри вписаної і описаної сфери збігаються, то сума плоских кутів при вершині піраміди дорівнює , а кожен з них відповідно , де n - кількість сторін багатокутника основи[3];
  • Площа бічної поверхні правильної піраміди дорівнює половині добутку периметра основи на апофему.

Прямокутна піраміда

Піраміда називається прямокутною, якщо одне з бічних ребер піраміди перпендикулярне основі. В даному випадку, це ребро і є висотою піраміди.

Тетраедр

Тетраедром називається трикутна піраміда. У тетраедра кожна з граней може бути прийнята за основу піраміди. Крім того, існує велика різниця між поняттями «правильна трикутна піраміда» і «правильний тетраедр». Правильна трикутна піраміда - це піраміда з правильним трикутником в основі (межі ж повинні бути рівнобокими трикутниками). Правильним тетраедром є тетраедр, у якого всі грані є рівносторонніми трикутниками.

Властивості

Такі три твердження є еквівалентними:

  1. Бокові ребра піраміди рівні;
  2. Бокові ребра піраміди нахилені до площини її основи під рівними кутами;
  3. Проекція вершини піраміди на площину її основи збігається з центром кола, описаного навколо основи.

Такі три твердження також є еквівалентними:

  1. Вершина піраміди рівновіддалена від усіх сторін її основи;
  2. Двогранні кути при основі піраміди рівні;
  3. Вершина піраміди проектується до центру кола, вписаного в її основу.

Зрізана піраміда утворена пірамідою та площиною, яка паралельна до основи піраміди та перетинає її, відтинаючи подібну піраміду.

Див. також

Примітки

  1. William F. Kern, James R Bland,Solid Mensuration with proofs, 1938, p.46
  2. Civil Engineers' Pocket Book: A Reference-book for Engineers Архівовано 2018-02-25 у Wayback Machine.
  3. Готман Э. Свойства правильной пирамиды, вписанной в сферу Архівовано 22 січень 2012 у Wayback Machine. // Квант. — 1998. — № 4.

Джерела