Відмінності між версіями «Реп'юніти»

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
[неперевірена версія][перевірена версія]
(Створена сторінка: Реп’юніти ({{lang-en|repunit}}, від ''{{lang|en|repeated unit}}'' — одиниця що повторюється) — натуральні чис...)
 
м (робить помилку в HTML5)
 
(Не показані 5 проміжних версій ще одного користувача)
Рядок 1: Рядок 1:
Реп’юніти ({{lang-en|repunit}}, від ''{{lang|en|repeated unit}}'' — одиниця що повторюється) — натуральні числа <math>R(b, n)</math>, запис яких в системі числення з основою <math>b > 1</math> складається лише з одиниць. У десятковій системі числення реп’юніти позначаються : <math>R_n</math>: <math>R_1 = 1</math>, <math>R_2 = 11</math>, <math>R_3 = 111</math> , і т. д.,і загальний вигляд для них: <math>R_n = \frac{10^n-1}{9},\quad n = 1, 2, 3,\ldots</math>
+
'''Реп’юніти''' ({{lang-en|repunit}}, від {{lang|en|repeated unit}} — одиниця що повторюється) — натуральні числа <math>R(b, n)</math>, запис яких в системі числення з основою <math>b > 1</math> складається лише з одиниць. У десятковій системі числення реп’юніти позначаються : <math>R_n</math>: <math>R_1 = 1</math>, <math>R_2 = 11</math>, <math>R_3 = 111</math> , і т. д.,і загальний вигляд для них: <math>R_n = \frac{10^n-1}{9},\quad n = 1, 2, 3,\ldots</math>
  +
Реп’юніти є окремим випадком Репдігітов.
  +
==Факторизація десяткових реп’юнітів==
  +
(Прості числа в факторизаціях, пофарбовані в {{color|brown|коричневий колір}} означають нові прості числа в факторизаціях ''R''<sub>''n''</sub>,, які не ділить ''R''<sub>''k''</sub> для всіх ''k'' < ''n'')
  +
{|
  +
|-
  +
||
  +
{|
  +
|-
  +
|''R''<sub>1</sub> =||1
  +
|-
  +
|''R''<sub>2</sub> =||{{color|brown|11}}
  +
|-
  +
|''R''<sub>3</sub> =||{{color|brown|3}} · {{color|brown|37}}
  +
|-
  +
|''R''<sub>4</sub> =||11 · {{color|brown|101}}
  +
|-
  +
|''R''<sub>5</sub> =||{{color|brown|41}} · {{color|brown|271}}
  +
|-
  +
|''R''<sub>6</sub> =||3 · {{color|brown|7}} · 11 · {{color|brown|13}} · 37
  +
|-
  +
|''R''<sub>7</sub> =||{{color|brown|239}} · {{color|brown|4649}}
  +
|-
  +
|''R''<sub>8</sub> =||11 · {{color|brown|73}} · 101 · {{color|brown|137}}
  +
|-
  +
|''R''<sub>9</sub> =||3<sup>2</sup> · 37 · {{color|brown|333667}}
  +
|-
  +
|''R''<sub>10</sub> =||11 · 41 · 271 · {{color|brown|9091}}
  +
|}
  +
||
  +
{|
  +
|-
  +
|''R''<sub>11</sub> =||{{color|brown|21649}} · {{color|brown|513239}}
  +
|-
  +
|''R''<sub>12</sub> =||3 · 7 · 11 · 13 · 37 · 101 · {{color|brown|9901}}
  +
|-
  +
|''R''<sub>13</sub> =||{{color|brown|53}} · {{color|brown|79}} · {{color|brown|265371653}}
  +
|-
  +
|''R''<sub>14</sub> =||11 · 239 · 4649 · {{color|brown|909091}}
  +
|-
  +
|''R''<sub>15</sub> =||3 · {{color|brown|31}} · 37 · 41 · 271 · {{color|brown|2906161}}
  +
|-
  +
|''R''<sub>16</sub> =||11 · {{color|brown|17}} · 73 · 101 · 137 · {{color|brown|5882353}}
  +
|-
  +
|''R''<sub>17</sub> =||{{color|brown|2071723}} · {{color|brown|5363222357}}
  +
|-
  +
|''R''<sub>18</sub> =||3<sup>2</sup> · 7 · 11 · 13 · {{color|brown|19}} · 37 · {{color|brown|52579}} · 333667
  +
|-
  +
|''R''<sub>19</sub> =||{{color|brown|1111111111111111111}}
  +
|-
  +
|''R''<sub>20</sub> =||11 · 41 · 101 · 271 · {{color|brown|3541}} · 9091 · {{color|brown|27961}}
  +
|}
  +
||
  +
{|
  +
|-
  +
|''R''<sub>21</sub> =||3 · 37 · {{color|brown|43}} · 239 · {{color|brown|1933}} · 4649 · {{color|brown|10838689}}
  +
|-
  +
|''R''<sub>22</sub> =||11<sup>2</sup> · {{color|brown|23}} · {{color|brown|4093}} · {{color|brown|8779}} · 21649 · 513239
  +
|-
  +
|''R''<sub>23</sub> =||{{color|brown|11111111111111111111111}}
  +
|-
  +
|''R''<sub>24</sub> =||3 · 7 · 11 · 13 · 37 · 73 · 101 · 137 · 9901 · {{color|brown|99990001}}
  +
|-
  +
|''R''<sub>25</sub> =||41 · 271 · {{color|brown|21401}} · {{color|brown|25601}} · {{color|brown|182521213001}}
  +
|-
  +
|''R''<sub>26</sub> =||11 · 53 · 79 · {{color|brown|859}} · 265371653 · {{color|brown|1058313049}}
  +
|-
  +
|''R''<sub>27</sub> =||3<sup>3</sup> · 37 · {{color|brown|757}} · 333667 · {{color|brown|440334654777631}}
  +
|-
  +
|''R''<sub>28</sub> =||11 · {{color|brown|29}} · 101 · 239 · {{color|brown|281}} · 4649 · 909091 · {{color|brown|121499449}}
  +
|-
  +
|''R''<sub>29</sub> =||{{color|brown|3191}} · {{color|brown|16763}} · {{color|brown|43037}} · {{color|brown|62003}} · {{color|brown|77843839397}}
  +
|-
  +
|''R''<sub>30</sub> =||3 · 7 · 11 · 13 · 31 · 37 · 41 · {{color|brown|211}} · {{color|brown|241}} · 271 · {{color|brown|2161}} · 9091 · 2906161
  +
|}
  +
|}
  +
==Властивості==
  +
* Відомо тільки 9 [[Прості числа|простих]] реп’юнітів <math>R_n</math> для ''n'', рівних:
  +
2, 19, 23, 317, 1031, 49 081, 86 453, 109 297, 270 343
  +
: При цьому, за станом на серпень 2014 року, простота останніх чотирьох чисел у вищевказаній послідовності не доведена, а лише передбачається з певною ймовірністю.
  +
:Очевидно, що індекси простих реп’юнітов також є простими числами.
  +
* В результаті множення <math>R_i \cdot R_j</math> при <math>9 \ge i \ge j</math> виходить паліндромічне число <math>(12 \ldots j \ldots 21)</math> з <math>i + j - 1</math> цифр с цифрой <math>j</math> посередині.
  +
* Реп’юніт 11 111 111 111 111 111 111 є самовиродженим числом.
  +
* Будь-яке додатнє кратне реп’юніта <math>R_n</math> містить не менше ''n'' ненульових цифр.
  +
* Реп’юніт як сума послідовних квадратів. Число 1111 можна представити у вигляді суми квадратів декількох послідовних натуральних чисел: <math>1111=\sum\limits_{n=11}^{16} n^2</math>. Очевидно, що одиниця також задовольняє даній умові. Інших таких реп’юнітів немає аж до 251 включно.
  +
  +
}}
  +
  +
== Література ==
  +
* Yates S. The mystique of repunits — Math. Mag., 1978, 51, 22—28.
  +
* Ейтс С. Репьюниты и десятичные периоды — Мир, 1992.
  +
* {{статья |автор=Кордемский Б. |заглавие=На часок к семейке репьюнитов |издание=[[Квант (журнал)|Квант]] |номер=5 |год=1997 |страницы=28—29 |ссылка=http://kvant.mccme.ru/pdf/1997/05/kv0597kordemsky.pdf}}
  +
* {{книга
  +
|автор = Н. М. Карпушина
  +
|заглавие = Вне формата. Занимательная математика: гимнастика для ума или искусство удивлять?
  +
|место = М.
  +
|издательство = АНО Редакция журнала «Наука и жизнь»
  +
|год = 2013
  +
|страниц = 288
  +
|страницы = 115, 132-149
  +
|isbn = 978-5-904129-07-1
  +
|ссылка =
  +
|ref = Карпушина
  +
}}
  +
  +
[[Категорія:Цілочисельні послідовності, що залежать від системи числення]]

Поточна версія на 14:04, 29 червня 2018

Реп’юніти (англ. repunit, від repeated unit — одиниця що повторюється) — натуральні числа , запис яких в системі числення з основою складається лише з одиниць. У десятковій системі числення реп’юніти позначаються  : : , , , і т. д.,і загальний вигляд для них: Реп’юніти є окремим випадком Репдігітов.

Факторизація десяткових реп’юнітів[ред. | ред. код]

(Прості числа в факторизаціях, пофарбовані в коричневий колір означають нові прості числа в факторизаціях Rn,, які не ділить Rk для всіх k < n)

R1 = 1
R2 = 11
R3 = 3 · 37
R4 = 11 · 101
R5 = 41 · 271
R6 = 3 · 7 · 11 · 13 · 37
R7 = 239 · 4649
R8 = 11 · 73 · 101 · 137
R9 = 32 · 37 · 333667
R10 = 11 · 41 · 271 · 9091
R11 = 21649 · 513239
R12 = 3 · 7 · 11 · 13 · 37 · 101 · 9901
R13 = 53 · 79 · 265371653
R14 = 11 · 239 · 4649 · 909091
R15 = 3 · 31 · 37 · 41 · 271 · 2906161
R16 = 11 · 17 · 73 · 101 · 137 · 5882353
R17 = 2071723 · 5363222357
R18 = 32 · 7 · 11 · 13 · 19 · 37 · 52579 · 333667
R19 = 1111111111111111111
R20 = 11 · 41 · 101 · 271 · 3541 · 9091 · 27961
R21 = 3 · 37 · 43 · 239 · 1933 · 4649 · 10838689
R22 = 112 · 23 · 4093 · 8779 · 21649 · 513239
R23 = 11111111111111111111111
R24 = 3 · 7 · 11 · 13 · 37 · 73 · 101 · 137 · 9901 · 99990001
R25 = 41 · 271 · 21401 · 25601 · 182521213001
R26 = 11 · 53 · 79 · 859 · 265371653 · 1058313049
R27 = 33 · 37 · 757 · 333667 · 440334654777631
R28 = 11 · 29 · 101 · 239 · 281 · 4649 · 909091 · 121499449
R29 = 3191 · 16763 · 43037 · 62003 · 77843839397
R30 = 3 · 7 · 11 · 13 · 31 · 37 · 41 · 211 · 241 · 271 · 2161 · 9091 · 2906161

Властивості[ред. | ред. код]

  • Відомо тільки 9 простих реп’юнітів для n, рівних:

2, 19, 23, 317, 1031, 49 081, 86 453, 109 297, 270 343

При цьому, за станом на серпень 2014 року, простота останніх чотирьох чисел у вищевказаній послідовності не доведена, а лише передбачається з певною ймовірністю.
Очевидно, що індекси простих реп’юнітов також є простими числами.
  • В результаті множення при виходить паліндромічне число з цифр с цифрой посередині.
  • Реп’юніт 11 111 111 111 111 111 111 є самовиродженим числом.
  • Будь-яке додатнє кратне реп’юніта містить не менше n ненульових цифр.
  • Реп’юніт як сума послідовних квадратів. Число 1111 можна представити у вигляді суми квадратів декількох послідовних натуральних чисел: . Очевидно, що одиниця також задовольняє даній умові. Інших таких реп’юнітів немає аж до 251 включно.

}}

Література[ред. | ред. код]