Відмінності між версіями «Реп'юніти»

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
[неперевірена версія][перевірена версія]
м (робить помилку в HTML5)
 
(Не показано 3 проміжні версії ще одного користувача)
Рядок 1: Рядок 1:
'''Реп’юніти''' ({{lang-en|repunit}}, від ''{{lang|en|repeated unit}}'' — одиниця що повторюється) — натуральні числа <math>R(b, n)</math>, запис яких в системі числення з основою <math>b > 1</math> складається лише з одиниць. У десятковій системі числення реп’юніти позначаються : <math>R_n</math>: <math>R_1 = 1</math>, <math>R_2 = 11</math>, <math>R_3 = 111</math> , і т. д.,і загальний вигляд для них: <math>R_n = \frac{10^n-1}{9},\quad n = 1, 2, 3,\ldots</math>
+
'''Реп’юніти''' ({{lang-en|repunit}}, від {{lang|en|repeated unit}} — одиниця що повторюється) — натуральні числа <math>R(b, n)</math>, запис яких в системі числення з основою <math>b > 1</math> складається лише з одиниць. У десятковій системі числення реп’юніти позначаються : <math>R_n</math>: <math>R_1 = 1</math>, <math>R_2 = 11</math>, <math>R_3 = 111</math> , і т. д.,і загальний вигляд для них: <math>R_n = \frac{10^n-1}{9},\quad n = 1, 2, 3,\ldots</math>
 
Реп’юніти є окремим випадком Репдігітов.
 
Реп’юніти є окремим випадком Репдігітов.
 
==Факторизація десяткових реп’юнітів==
 
==Факторизація десяткових реп’юнітів==
Рядок 76: Рядок 76:
 
|}
 
|}
 
==Властивості==
 
==Властивості==
* Відомо тільки 9 [[простих чисел|простих]] реп’юнітів <math>R_n</math> для ''n'', рівних<ref name="oeis-a004023" />:
+
* Відомо тільки 9 [[Прості числа|простих]] реп’юнітів <math>R_n</math> для ''n'', рівних:
  +
2, 19, 23, 317, 1031, 49 081, 86 453, 109 297, 270 343
:: {{nums|link=nrl|2|19|23|317|1031|49081|86453|109297|270343}}
 
 
: При цьому, за станом на серпень 2014 року, простота останніх чотирьох чисел у вищевказаній послідовності не доведена, а лише передбачається з певною ймовірністю.
 
: При цьому, за станом на серпень 2014 року, простота останніх чотирьох чисел у вищевказаній послідовності не доведена, а лише передбачається з певною ймовірністю.
 
:Очевидно, що індекси простих реп’юнітов також є простими числами.
 
:Очевидно, що індекси простих реп’юнітов також є простими числами.
 
* В результаті множення <math>R_i \cdot R_j</math> при <math>9 \ge i \ge j</math> виходить паліндромічне число <math>(12 \ldots j \ldots 21)</math> з <math>i + j - 1</math> цифр с цифрой <math>j</math> посередині.
 
* В результаті множення <math>R_i \cdot R_j</math> при <math>9 \ge i \ge j</math> виходить паліндромічне число <math>(12 \ldots j \ldots 21)</math> з <math>i + j - 1</math> цифр с цифрой <math>j</math> посередині.
* Реп’юніт 11 111 111 111 111 111 111 є [[самовироджені числа|самовиродженим числом]].
+
* Реп’юніт 11 111 111 111 111 111 111 є самовиродженим числом.
 
* Будь-яке додатнє кратне реп’юніта <math>R_n</math> містить не менше ''n'' ненульових цифр.
 
* Будь-яке додатнє кратне реп’юніта <math>R_n</math> містить не менше ''n'' ненульових цифр.
* Реп’юніт як сума послідовних квадратів. Число {{ч|1111}} можна представити у вигляді суми квадратів декількох послідовних натуральних чисел: <math>1111=\sum\limits_{n=11}^{16} n^2</math>. Очевидно, що одиниця також задовольняє даній умові. Інших таких реп’юнітів немає аж до 251 включно.
+
* Реп’юніт як сума послідовних квадратів. Число 1111 можна представити у вигляді суми квадратів декількох послідовних натуральних чисел: <math>1111=\sum\limits_{n=11}^{16} n^2</math>. Очевидно, що одиниця також задовольняє даній умові. Інших таких реп’юнітів немає аж до 251 включно.
 
<ref name="oeis-a004023">{{OEIS long|4023}}</ref>
 
   
 
}}
 
}}

Поточна версія на 14:04, 29 червня 2018

Реп’юніти (англ. repunit, від repeated unit — одиниця що повторюється) — натуральні числа , запис яких в системі числення з основою складається лише з одиниць. У десятковій системі числення реп’юніти позначаються  : : , , , і т. д.,і загальний вигляд для них: Реп’юніти є окремим випадком Репдігітов.

Факторизація десяткових реп’юнітів[ред. | ред. код]

(Прості числа в факторизаціях, пофарбовані в коричневий колір означають нові прості числа в факторизаціях Rn,, які не ділить Rk для всіх k < n)

R1 = 1
R2 = 11
R3 = 3 · 37
R4 = 11 · 101
R5 = 41 · 271
R6 = 3 · 7 · 11 · 13 · 37
R7 = 239 · 4649
R8 = 11 · 73 · 101 · 137
R9 = 32 · 37 · 333667
R10 = 11 · 41 · 271 · 9091
R11 = 21649 · 513239
R12 = 3 · 7 · 11 · 13 · 37 · 101 · 9901
R13 = 53 · 79 · 265371653
R14 = 11 · 239 · 4649 · 909091
R15 = 3 · 31 · 37 · 41 · 271 · 2906161
R16 = 11 · 17 · 73 · 101 · 137 · 5882353
R17 = 2071723 · 5363222357
R18 = 32 · 7 · 11 · 13 · 19 · 37 · 52579 · 333667
R19 = 1111111111111111111
R20 = 11 · 41 · 101 · 271 · 3541 · 9091 · 27961
R21 = 3 · 37 · 43 · 239 · 1933 · 4649 · 10838689
R22 = 112 · 23 · 4093 · 8779 · 21649 · 513239
R23 = 11111111111111111111111
R24 = 3 · 7 · 11 · 13 · 37 · 73 · 101 · 137 · 9901 · 99990001
R25 = 41 · 271 · 21401 · 25601 · 182521213001
R26 = 11 · 53 · 79 · 859 · 265371653 · 1058313049
R27 = 33 · 37 · 757 · 333667 · 440334654777631
R28 = 11 · 29 · 101 · 239 · 281 · 4649 · 909091 · 121499449
R29 = 3191 · 16763 · 43037 · 62003 · 77843839397
R30 = 3 · 7 · 11 · 13 · 31 · 37 · 41 · 211 · 241 · 271 · 2161 · 9091 · 2906161

Властивості[ред. | ред. код]

  • Відомо тільки 9 простих реп’юнітів для n, рівних:

2, 19, 23, 317, 1031, 49 081, 86 453, 109 297, 270 343

При цьому, за станом на серпень 2014 року, простота останніх чотирьох чисел у вищевказаній послідовності не доведена, а лише передбачається з певною ймовірністю.
Очевидно, що індекси простих реп’юнітов також є простими числами.
  • В результаті множення при виходить паліндромічне число з цифр с цифрой посередині.
  • Реп’юніт 11 111 111 111 111 111 111 є самовиродженим числом.
  • Будь-яке додатнє кратне реп’юніта містить не менше n ненульових цифр.
  • Реп’юніт як сума послідовних квадратів. Число 1111 можна представити у вигляді суми квадратів декількох послідовних натуральних чисел: . Очевидно, що одиниця також задовольняє даній умові. Інших таких реп’юнітів немає аж до 251 включно.

}}

Література[ред. | ред. код]