Відмінності між версіями «Розкладання на прості дроби»

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
[перевірена версія][очікує на перевірку]
(Виправлено помилки перекладу, пунктуацію, неточності.)
 
(Не показані 7 проміжних версій ще одного користувача)
Рядок 1: Рядок 1:
 
'''Метод невизначених коефіцієнтів (Розкладання на [[прості дроби]])''' ({{lang-en|partial fraction decomposition}}) [[алгебраїчний дріб|алгебраїчного дробу]] (такого [[дріб|дробу]], що чисельник і знаменник обидва [[многочлен]]и) — це операція, яка складається з вираження дробу як суми многочлена (можливо нуля) і одного або кількох дробів з простішими знаменниками.
 
'''Метод невизначених коефіцієнтів (Розкладання на [[прості дроби]])''' ({{lang-en|partial fraction decomposition}}) [[алгебраїчний дріб|алгебраїчного дробу]] (такого [[дріб|дробу]], що чисельник і знаменник обидва [[многочлен]]и) — це операція, яка складається з вираження дробу як суми многочлена (можливо нуля) і одного або кількох дробів з простішими знаменниками.
   
Розкладання на прості дроби є досить важливим наприклад у інтегральному численні, оскільки цей алгоритм дає можливість обчислити [[первісна|первісну]] [[раціональна функція|раціональної функції]] набагато простіше.
+
Розкладання на прості дроби є досить важливим наприклад у [[Інтегральне числення|інтегральному численні]], оскільки цей алгоритм дає можливість обчислити [[первісна|первісну]] [[раціональна функція|раціональної функції]] набагато простіше.
   
 
''Розкладання на прості дроби'' можна використати, щоб привести раціональний дріб форми
 
''Розкладання на прості дроби'' можна використати, щоб привести раціональний дріб форми
Рядок 126: Рядок 126:
 
: <math> 2\cdot6-4\cdot5+5\cdot4-3\cdot3+2+3 = A\cdot(0+0) + B\cdot( 2+ 0) + 8 + D\cdot0 </math>
 
: <math> 2\cdot6-4\cdot5+5\cdot4-3\cdot3+2+3 = A\cdot(0+0) + B\cdot( 2+ 0) + 8 + D\cdot0 </math>
 
тобто ''8 = 2B + 8'' отже ''B=0''.
 
тобто ''8 = 2B + 8'' отже ''B=0''.
  +
  +
== Розкладання раціональних дробів на елементарні дроби ==
  +
Класичним прикладом застосування методу невизначених коефіцієнтів є розкладання правильного раціонального дробу в області [[комплексне число|комплексних]] або [[дійсне число|дійсних]] чисел на найпростіші дроби.
  +
  +
Нехай <math>p(z)</math> і <math>q(z)</math> — [[многочлен]]и з комплексними коефіцієнтами, причому степінь многочлена <math>p(z)</math> менше степені многочлена <math>q(z)</math>, коефіцієнт при старшому члені многочлена <math>q(z)</math> дорівнює 1, <math>z_i</math> <math>i\in\{1,..,k\}</math> ― корені многочлена <math>q(z)</math> з кратностями <math>\alpha_i</math>, отже,
  +
: <math>q(z) = (z-z_1)^{\alpha_1}(z-z_2)^{\alpha_2}..(z-z_k)^{\alpha_k}</math>
  +
Функція <math>p/q</math> може бути подана, і причому єдиним способом, у вигляді суми елементарних дробів
  +
: <math>\frac{p(z)}{q(z)}=\sum_{i=1}^k\sum_{j=1}^{\alpha_i}\frac {A_{i,j}}{(z-z_i)^j},</math>
  +
де <math>A_{i,j}</math> ― невідомі поки комплексні числа (їх кількість дорівнює степені <math>q</math>).
  +
Для їх знаходження обидві частини рівності приводять до спільного знаменника. Після його відкидання і приведення в правій частині подібних членів одержується рівність, яка зводиться до [[система лінійних алгебраїчних рівнянь|системи лінійних рівнянь]] відносно <math>A_{i,j}</math>.
  +
  +
''Примітка''. Знаходження невідомих можна спростити, якщо <math>q(z)</math> має некратні корні <math>z_j</math>. Після множення на <math>z-z_j</math> останньої рівності і підстановки <math>z = z_j</math> безпосередньо одержуємо значення відповідного коефіцієнта <math>A_j = \frac{p(z_j)}{\prod\limits_{i\neq j}(z_j-z_i)^{\alpha_i}}</math>.
  +
  +
== Джерела ==
  +
* {{cite book
  +
|автор=Корн Г., Корн Т.
  +
|назва=Справочник по математике для научних работников и инженеров
  +
|видання=друге
  +
|рік=1977
  +
|мова=рос.
  +
|знаходження=Москва
  +
|видавництво=[[Наука (видавництво)|Наука]]
  +
|сторінки=832 с.
  +
}}
   
 
== Див. також ==
 
== Див. також ==

Поточна версія на 14:25, 30 січня 2019

Метод невизначених коефіцієнтів (Розкладання на прості дроби) (англ. partial fraction decomposition) алгебраїчного дробу (такого дробу, що чисельник і знаменник обидва многочлени) — це операція, яка складається з вираження дробу як суми многочлена (можливо нуля) і одного або кількох дробів з простішими знаменниками.

Розкладання на прості дроби є досить важливим наприклад у інтегральному численні, оскільки цей алгоритм дає можливість обчислити первісну раціональної функції набагато простіше.

Розкладання на прості дроби можна використати, щоб привести раціональний дріб форми

де ƒ і g є многочленами, до виразу форми

де gj (x) це многочлени які є дільниками g(x), і зазвичай меншого степеню. Отже, розклад на прості дроби можна розглядати як процедуру обернену до простішої операції додавання алгебраїчних дробів, результатом якої є єдиний алгебраїчний дріб з чисельником і знаменником зазвичай вищого степеню. Повний розклад проводить перетворення так далеко як тільки можливо: інакше кажучи, g факторизується на стільки, на скільки це можливо. Отже, на виході повного розкладу на прості дроби ми маємо суму дробів, де:

Приклади[ред. | ред. код]

Приклад 1[ред. | ред. код]

Тут знаменник можна розкласти на два різні лінійні множники:

Отже, ми маємо такий розклад

Множення на x2 + 2x − 3 дає нам таке рівняння

Заміна x = −3 дає A = −1/4 і заміна x = 1 дає B = 1/4. Отже,

Приклад 2[ред. | ред. код]

Після ділення многочленів, ми маємо

Оскільки (−4)2 − 4×8 = −16 < 0, множник x2 − 4x + 8 є незвідним і розклад на прості дроби над полем дійсних чисел такий

Множачи на x3 − 4x2 + 8x, отримуємо тотожність

Беручи x = 0, ми бачимо, що 16 = 8A, отже A = 2. Порівнюючи коефіцієнти при x2 ми бачимо, що 4 = A + B = 2 + B, отже B = 2. З порівняння лінійних коефіцієнтів ми бачимо, що −8 = −4A + C = −8 + C, отже C = 0. В підсумку,

Приклад 3[ред. | ред. код]

Цей приклад демонструє майже всі можливі хитрощі, які могли б знадобитися в розв'язанні за допомогою СКА.

Після ділення многочленів і факторизації знаменника, маємо

Розклавши на прості дроби отримує таку форму

Множачи на (x − 1)3(x2 + 1)2 переходимо до тотожних многочленів

Беручи x = 1 отримуємо 4 = 4C, отже C = 1. Так само, беручи x = i отримуємо 2 + 2i = (Fi + G)(2 + 2i), отже Fi + G = 1, звідси F = 0 і G = 1 через прирівнювання дійсних і уявних складових. З C = G = 1 і F = 0, беручи x = 0 ми отримуємо AB + 1 − E − 1 = 0, таким чином E = AB.

Маємо тотожність

Розкриваючи дужки і сортуючи степені x отримуємо

Тепер ми можемо порівняти коефіцієнти і побачити, що

з A = 2 − D і −A −3 D =−4 випливає, що A = D = 1 і з цього B = 0, далі C = 1, E = AB = 1, F = 0 і G = 1.

Отже, розклад на прості дроби для ƒ(x) такий

Замість розкривання дужок, інші лінійні залежності коефіцієнтів можна було отримати через обчислення похідних у x=1 і x=i в попередній поліноміальній тотожності. (Для цього згадаймо, що похідна в x=a від (x−a)mp(x) зникає якщо m > 1 і є просто p(a) якщо m=1.) Отже, наприклад, перша похідна в x=1 дає

тобто 8 = 2B + 8 отже B=0.

Розкладання раціональних дробів на елементарні дроби[ред. | ред. код]

Класичним прикладом застосування методу невизначених коефіцієнтів є розкладання правильного раціонального дробу в області комплексних або дійсних чисел на найпростіші дроби.

Нехай і многочлени з комплексними коефіцієнтами, причому степінь многочлена менше степені многочлена , коефіцієнт при старшому члені многочлена дорівнює 1, ― корені многочлена з кратностями , отже,

Функція може бути подана, і причому єдиним способом, у вигляді суми елементарних дробів

де ― невідомі поки комплексні числа (їх кількість дорівнює степені ). Для їх знаходження обидві частини рівності приводять до спільного знаменника. Після його відкидання і приведення в правій частині подібних членів одержується рівність, яка зводиться до системи лінійних рівнянь відносно .

Примітка. Знаходження невідомих можна спростити, якщо має некратні корні . Після множення на останньої рівності і підстановки безпосередньо одержуємо значення відповідного коефіцієнта .

Джерела[ред. | ред. код]

  • Корн Г., Корн Т. (1977). Справочник по математике для научних работников и инженеров (рос.) (вид. друге). Москва: Наука. с. 832 с. 

Див. також[ред. | ред. код]

Посилання[ред. | ред. код]