Відмінності між версіями «Інтеграл Рімана»

Перейти до навігації Перейти до пошуку
 
== Властивості інтеграла Рімана ==
=== Властивості, пов'язані з проміжками інтегрування ===
 
* '''Орієнтовність інтеграла:''' має місце поняття інтеграла Рімана по відрізку «в зворотньому напрямку», а саме для ''a'' > ''b'' вважаємо, що
 
: <math>\lim_{i\to\infty} \int\limits_aint_a^b f_if(x) \, dx := - \int\limits_aint_b^ba f(x) \, dx; </math>
* '''Обмеження''': Якщо функція <math>f</math> інтегровна на відрізку <math>[a,b]</math>, то вона інтегровна й на меншому відрізку <math>[a_1,b_1]</math>, де <math>a\le a_1 < b_1\le b</math>.
 
* Якщо функція інтегровна на відрізку <math>[a,b]</math> та на відрізку <math>[b,c]</math>, то вона інтегровна і на відрізку <math>[a,c]</math>, і <math>\int\limits_a^c f(x)\,dx = \int\limits_a^b f(x)\,dx + \int\limits_b^c f(x)\,dx</math>.
* '''Інтеграл по відрізку нульової довжини:''' має місце поняття інтеграла Рімана по відрізку нульової довжини, а саме для довільного ''a'' &isin; ''R'' вважаємо, що
* '''Лінійність''': Якщо функції <math>f</math> і <math>g</math> інтегровні, і <math>\alpha, \beta \in\R</math>, то функція <math>\alpha f + \beta g</math> також інтегровна, і
 
: <math>\int\limits_a^b (\alpha f(x) +\beta g(x))\,dx = \alpha \int\limits_a^b f(x)\,dx + \beta \int\limits_a^b g(x)\,dx</math>
<math>\int_{a}^{a} f(x)\, dx = 0;</math>
* '''Границя''': Якщо інтегровні функції <math>f_i</math> [[рівномірна збіжність|рівномірно збігаються]] на відрізку <math>[a,b]</math> до функції <math>f</math>, то <math>f</math> інтегровна, і
 
: <math>\lim_{i\to\infty} \int\limits_a^b f_i(x)\,dx = \int\limits_a^b f(x)\,dx</math>
* '''Інтегровність на меншому відрізку:''' якщо ''f'' &isin; ''R''([''a'',&nbsp;''b'']), то ''f'' &isin; ''R''([''c'',&nbsp;''d'']) для довільного відрізку [''c'',&nbsp;''d''] ⊂ [''a'',&nbsp;''b''];
 
* '''Адитивність:''' якщо ''f'' &isin; ''R''([''a'',&nbsp;''b'']) ∩ ''R''([''b'',&nbsp;''c'']) (''a'' < ''b'' < ''c''), то ''f'' &isin; ''R''([''a'',&nbsp;''c'']) і
 
<math>\int_a^c f(x)\,dx = \int_a^b f(x)\,dx + \int_b^c f(x)\,dx;</math>
 
=== Властивості зі знаком рівності ===
В цьому підрозділі вважаємо, що {''a'', ''b''} ⊂ ''R''&nbsp;— довільні.
<!-- це є вище
* '''Обмеженість:''' якщо ''f'' &isin; ''R''([''a'',&nbsp;''b'']), то ''f''&nbsp;— обмежена на [''a'',&nbsp;''b''];
-->
 
* '''Невиродженість:''' для всіх {''a'', ''b''} ⊂ ''R'' має місце рівність
 
<math>\int_{a}^{b}1\, dx = b - a;</math>
 
* '''Лінійність:''' якщо {f, g} ⊂ ''R''([''a'',&nbsp;''b'']), то для довільних {α,&nbsp;β} ⊂ ''R''([''a'',&nbsp;''b'']) функція α''f'' + β''g'' &isin; ''R''([''a'',&nbsp;''b'']) та
 
: <math>\int\limits_aint_{a}^{b }(\alpha f(x) + \beta g(x))\, dx = \alpha \int\limits_aint_{a}^{b }f(x)\, dx + \beta \int\limits_aint_{a}^{b }g(x)\, dx. </math>
 
* '''Граничний перехід під знаком інтеграла Рімана''': якщо ''f''<sub>''i''</sub> &isin; ''R''([''a'',&nbsp;''b'']) [[рівномірна збіжність|рівномірно збігаються]] на [''a'',&nbsp;''b''] до функції ''f'', то ''f'' &isin; ''R''([''a'',&nbsp;''b'']) та
 
<math>\lim_{i\to\infty} \int_a^b f_i(x)\,dx = \int_a^b f(x)\,dx</math>
 
=== Нерівності ===
 
В цьому підрозділі вважаємо, що ''a'' < ''b''.
 
* '''Невід'ємність:''' якщо ''f'' &isin; ''R''([''a'',&nbsp;''b'']) та невід'ємна на [''a'',&nbsp;''b''], то
 
<math> \int_{a}^{b} f(x)\, dx \ge 0;</math>
 
* '''Нерівність інтегралів:''' якщо {f, g} ⊂ ''R''([''a'',&nbsp;''b'']) та ''f''(''x'') ≤ ''g''(''x'') для всіх ''x'' ∈ [''a'',&nbsp;''b''], то
 
<math>\int_{a}^{b}f(x)\, dx \leq \int_{a}^{b}g(x)\, dx;</math>
 
* '''Оцінка модуля інтеграла:''' якщо ''f'' &isin; ''R''([''a'',&nbsp;''b'']), то |''f''| &isin; ''R''([''a'',&nbsp;''b'']) та
 
<math>\left|\int_{a}^{b}f(x)\,dx \right|\leq \int_{a}^{b}|f(x)| \, dx.</math>
 
== Інтегровність за Ріманом функцій ==
334

редагування

Навігаційне меню