Поверхневий інтеграл: відмінності між версіями

Перейти до навігації Перейти до пошуку
оформлення, шаблон
Немає опису редагування
(оформлення, шаблон)
[[Файл:Surface integral illustration.svg|250px|thumb|Визначення поверхневого інтегралу спирається на розбиття поверхні на малі елементи]]
{{Calculus}}
У [[математика|математиці]] '''поверхне́вий інтегра́л'''  — це [[визначений інтеграл]], котрий береться по поверхні (яка може бути зігнутою множиною в просторі); його можна розглядати як подвійний інтегральний аналог [[лінійний інтеграл|лінійного інтегралу]]. З огляду на поверхні, можна інтегрувати скалярні поля (тобто функції, які повертають числа як значення) і [[векторні поля]] (тобто функції, які повертають [[вектор]]и як значення).
 
Поверхневі інтеграли мають [[застосування]] у [[фізика|фізиці]], зокрема в класичній теорії [[електромагнетизм]]у.
: <math>\!A^2+B^2+C^2>0,</math>
 
: <math>
A=\begin{vmatrix}
{\partial y \over \partial u} & {\partial y \over \partial v} \\
\end{vmatrix}</math>
 
: <math>
\;B=\begin{vmatrix}
{\partial z \over \partial u} & {\partial z \over \partial v} \\
\end{vmatrix}</math>
 
: <math>
\;C=\begin{vmatrix}
{\partial x \over \partial u} & {\partial x \over \partial v} \\
Хай поверхня <math>\!S</math> задана параметрично: <math>\!x=x(u, v)</math>, <math>\!y=y(u, v)</math>, <math>\!z=z(u, v)</math>, причому <math>\!u</math> і <math>\!v</math> пробігають деяку область <math>\!\Gamma</math> площини <math>\!u</math>, <math>\!v</math>. Тоді площа <math>\!S</math> поверхні визначається поверхневим інтегралом
 
: <math>\iint_{\Gamma} \sqrt{EG-F^2}\, du\,dv</math>,
де
: <math>E= {\left( \frac{\partial x}{\partial u} \right)}^2 + {\left( \frac{\partial y}{\partial u} \right)}^2 + {\left( \frac{\partial z}{\partial u} \right)}^2</math>
 
: <math>F={\partial x \over \partial u}{\partial x \over \partial v}+{\partial y \over \partial u}{\partial y \over \partial v}+{\partial z \over \partial u}{\partial z \over \partial v}</math>
 
: <math>G= {\left( \frac{\partial x}{\partial v} \right)}^2 + {\left( \frac{\partial y}{\partial v} \right)}^2 + {\left( \frac{\partial z}{\partial v} \right)}^2</math>;
 
підінтегральний вираз
 
: <math>dS=\sqrt{EG-F^2}\, du\,dv</math>
 
називається ''елементом поверхні''.
Якщо <math>S</math> задана явно рівнянням <math>z=\phi(x, y)</math>, причому <math>(x, y)</math> пробігають область <math>S'</math> (проекцію області <math>S</math> на площину <math>x0y</math>), то:
 
: <math>S=\iint_{S^\prime}\sqrt{1+p^2+q^2}\, dx\,dy</math>,
 
де
 
=== Поверхневі інтеграли 1-го роду ===
 
[[Файл:Surface integral.png|left|thumb|Рис.&nbsp;1]]
 
<tt>Визначення поверхневого інтегралу 1-го роду</tt>.
 
Нехай деяка функція <math>\!f(x, y, z)</math> визначена і обмежена на гладкій поверхні <math>\!S</math>. Хай <math>\!Z</math> позначає деяке розбиття <math>\!S</math> на скінченну кількість елементарних поверхонь <math>\!S_i</math> (i = 1, 2 …. і) з площами <math>\!\Delta S_i</math>, <math>\!\Delta(Z)</math> є найбільшим діаметром елементарних поверхонь <math>\!S_i</math> і <math>\!M_i=(x_i, y_i, z_i) </math>&nbsp;— довільна точка на відповідній елементарній поверхні (Рис.&nbsp;1). Число
 
: <math>\!S(Z)=\sum_{i=1}^N {f(x_i, y_i, z_i) \Delta S_i}</math>
 
називається інтегральною сумою, що відповідає розбиттю <math>\!Z</math>.
Якщо існує число <math>\!I</math> з такою властивістю: для кожного <math>\!\epsilon>0</math> знайдеться таке<math>\! \delta(\epsilon)>0</math>, що для кожного розбиття <math>\!Z</math> з <math>\!\Delta(Z)<\delta</math>, незалежно від вибору точок <math>\!M_i</math> <math>\!|S(Z) - I|<\delta</math>, то <math>\!I</math> називається <tt>поверхневим інтегралом 1-го роду</tt> від <math>\!f(x, y, z)</math> по поверхні <math>\!S</math> і записується
 
: <math>\!I=\iint_{S} f(x, y, z)\ ds</math>
 
Для окремого випадку підінтегрального виразу <math>\!f(x, y, z) \equiv 1</math>
<tt>Обчислення</tt> (зведення до подвійного інтеграла): якщо поверхня задана параметрично:
 
: <math>\!x=x(u, v)</math>, <math>\!y=y(u, v)</math>, <math>\!z=z(u, v)</math>,
 
причому <math>\!u</math> та <math>\!v</math> пробігають область <math>\!\Gamma</math> площини <math>\!u</math>, <math>\!v</math>
 
: <math>\!I=\iint_{S} f(x, y, z)\ ds=\iint_{\Gamma} f(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) \sqrt{EG-F^2}\, du dv </math>
 
Якщо поверхня задана явно [[рівняння]]м <math>\!z=\phi(x, y)</math> причому <math>\!(x, y)</math> пробігають область <math>\!S'</math>, то
 
: <math>\!I=\iint_{S} f(x, y, z)\ ds=\iint_{S'} f(x, y, \phi(x, y))\sqrt{1+p^2+q^2} \ dx dy </math>
 
Аналогічні формули вірні, якщо <math>\!S</math> представлена рівняннями виду <math>\!x=\psi(y, z)</math> чи <math>\!y=\chi(x, z)</math>
 
=== Поверхневі інтеграли 2-го роду ===
 
[[Файл:Surface integral1.png|right|300px|thumb|Рис.&nbsp;2]]
 
Орієнтація двосторонньої незамкнутої поверхні: вибирається певна сторона поверхні <math>\!S</math>; на кожній замкнутій кривій на <math>\!S</math> визначається додатний напрям обходу так, що він разом з [[нормаль|нормаллю]] вибраної сторони утворював праву трійку векторів.
 
 
Число
: <math>\!S(Z)=\sum_{i=1}^N f(x_i, y_i, z_i) \Delta S'_i</math>
 
<math>\!S(Z)=\sum_{i=1}^N f(x_i, y_i, z_i) \Delta S'_i</math>
 
називається <tt>інтегральною сумою</tt>, що відповідає розбиттю <math>\!Z</math>. На противагу утворенню інтегральних сум поверхневих інтегралів 1-го роду, тут <math>\!f(M_i)</math> множиться не на площу <math>\!\Delta S'_i</math> (елементарній поверхні <math>\! S_i</math> а на взяту із знаком площа <math>\!\Delta S'_i</math> проекції <math>\!S'_i</math> поверхні <math>\! S_i</math> на площину <math>\!x, y</math>.
Якщо існує число <math>\!I</math> з такою властивістю: для кожного <math>\!\epsilon>0</math> знайдеться таке <math>\!\delta(\epsilon)>0</math>, що для кожного розбиття <math>\!Z</math> з <math>\!\Delta(Z)<\delta</math>, незалежно від вибору точок <math>\!M_i</math>, завжди |<math>\!|S(Z)-I|<\epsilon</math>, то <math>\!I</math> називають <tt>поверхневим інтегралом 2-го роду</tt> від
 
: <math>\!f(x, y, z)</math> за вибраною стороною <math>\!S</math> і пишуть
 
: <math>\!\iint_{S} f(x, y, z) \ dx\; dy</math>
 
Якщо <math>\!S</math> не має взаємно однозначної проекції на площину <math>\!x, y</math>, але її можна розбити на скінченну кількість поверхонь, для кожної з яких існує така [[проекція]], то поверхневий інтеграл по <math>\!S</math> визначається як сума [[інтеграл]]ів по окремих поверхнях.
Якщо <math>\!S</math> має однозначну проекцію на площину <math>\!y, z</math> або <math>\!x, z</math>, то можна визначити аналогічно два інших поверхневих інтеграла 2-го роду
 
: <math>\!\iint_{S} f(x, y, z)\ dy dz</math>
 
: <math>\!\iint_{S} f(x, y, z)\ dz dx</math>
 
де у відповідних інтегральних сумах стоять площі проекцій <math>\!S_i</math> на площину <math>\!y, z</math> або <math>\!x, z</math>.
 
 
: <math>\!
\iint_{S} P\;dy\; dz+ Q\;dz\; dx + R\;dx\; dy =\iint_{S} P\;dy\; dz + \iint_{S} Q\;dz\; dx +\iint_{S} R\;dx\; dy
</math>
 
==== Обчислення поверхневого інтеграла 2-го роду (зведення до подвійного інтеграла) ====
 
'''1'''. Нехай поверхня <math>\!S</math> має явне представлення <math>\!z= \phi (x, y)</math>, причому <math>\!(x, y)</math> змінюються в області <math>\!S'</math>. Тоді поверхневий інтеграл по тій стороні <math>\!S</math>, для якої кут між нормаллю і віссю <math>\!z</math> є гострим, обчислюється так:
 
: <math>\!
\iint_{S} f(x, y, z) dx dy= - \iint_{S'} f(x, y, \phi(x, y))
</math>
Якщо вибрана інша сторона поверхні, то
 
: <math>\!
\iint_{S} f(x, y, z) dx dy= \iint_{S} f(x, y, \phi(x, y))
</math>
Аналогічні формули виходять для інших інтегралів:
 
: <math>\!
\iint_{S} f(x, y, z) dy dz= - \iint_{S'} f(\psi(y, z), y, z)
</math>
де <math>\!S</math> задана рівнянням <math>\!x=\psi(y, z)</math>, <math>\!S'</math>&nbsp;— проекція <math>\!S</math> на площину <math>\!y, z</math>, а поверхневий інтеграл береться по тій стороні, нормаль до якої утворює з віссю <math>\!x</math> гострий кут. Так само
 
: <math>\!
\iint_{S} f(x, y, z) dz dx= - \iint_{S'} f(x, \chi(z, x), y) dz dx
</math>
'''2'''. Якщо поверхня <math>\!S</math> задана в параметричній формі: <math>\!x=x(u, v)</math>, <math>\!y=y(u, v)</math>, <math>\!z=z(u, v)</math>, то
 
: <math>\!
\iint_{S} f(x, y, z) dx dy= \pm \iint_{\Gamma} f(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) C\;du\; dv
</math>
 
: <math>\!
\iint_{S} f(x, y, z) dy dz= \pm \iint_{\Gamma} f(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) A\;du\; dv
</math>
 
: <math>\!
\iint_{S} f(x, y, z) dz dx= \pm \iint_{\Gamma} f(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) B\;du\; dv
</math>
де
 
: <math>\!A={\partial (y, z) \over \partial (u, v)}</math>
 
: <math>\!B={\partial (z, x) \over \partial (u, v)}</math>
 
: <math>\!C={\partial (x, y) \over \partial (u, v)}</math>
 
дивись рівняння угорі, додатний знак перед інтегралом справа використовується тоді, коли <tt>орієнтація</tt> області <math>\!\Gamma</math> площини <math>\!u, v</math> відповідає орієнтації вибраної сторони. Для суми трьох інтегралів отримуємо
 
: <math>\!
\iint_{S} P\;dy\; dz+ Q\;dz\; dx + R\;dz\; dy =\pm \iint_{\Gamma} (PA+QB+RC)\; du\; dv
</math>
 
=== Зв'язок між поверхневими інтегралами 1-го і 2-го роду ===
 
Якщо <math>\!\alpha</math>, <math>\!\beta</math>, <math>\!\gamma</math>&nbsp;— кути нормалі до вибраної сторони поверхні з осями <math>\!x, y</math> і <math>\!z</math>, то
 
 
[[Файл:Surface integral2.png|right|thumb|Рис.&nbsp;3]]
 
Поверхневий інтеграл
 
: <math>\!
\iint_{S} P\;dy\; dz+ Q\;dz\; dx + R\;dz\; dy
</math>
має для різних незамкнутих поверхонь <math>\!S_1</math> і <math>\!S_2</math> з однією і тією ж границею <math>\!C</math> у загальному випадку різні значення (Рис.&nbsp;3), тобто він в загальному випадку не обертається в [[нуль]] на замкнутій поверхні (аналогічно залежності від шляху криволінійного інтеграла). Якщо функції
 
: <math>\!
P, Q, R, {\partial P \over \partial x}, {\partial Q \over \partial y}, {\partial R \over \partial z}
</math>
неперервні в однозв'язній просторовій області <math>\!V</math> (тобто в області, яка разом з кожною замкнутою поверхнею містить також і область, обмежену цією поверхнею), то поверхневий інтеграл по всякій замкнутій поверхні <math>\!S</math> в <math>\!V</math> обертається в нуль тоді і тільки тоді, коли
 
: <math>\!
{\partial P \over \partial x} + {\partial Q \over \partial y} + {\partial R \over \partial z}=0
</math>
 
=== [[Об'єм]] [[тіло|тіла]] ===
 
Об'єм <math>\!V</math> тіла (<math>\!V</math>), обмеженого кусково гладкими поверхнями <math>\!S</math>, можна різними способами обчислити як поверхневий інтеграл другого роду:
 
: <math>\!V= \iint_{S} z\; dx\; dy</math>
 
чи
 
: <math>\!V= \iint_{S} x\; dy\; dz</math>
 
чи
 
: <math>\!V= \iint_{S} y\; dz\; dx</math>
 
 
або
 
: <math>\!
V= {1 \over 3} \iint_{S} x\; dy\; dz+y\; dz\; dx+ z\; dx\; dy
</math>
 
=== Центр тяжіння та сила притягання ===
 
Якщо поверхня <math>\!S</math> покрита масою з поверхневою густиною <math>\!\delta(x, y, z)</math>, то повна маса поверхні <math>\!S</math> дорівнює
 
: <math>\!M=\iint_{S} \delta(x, y, z)\; dS</math>
 
координати <math>\!(\xi, \eta, \zeta)</math> центру тяжіння дорівнюють
 
: <math>\!
\xi={1 \over M} \iint_{S} x \delta(x, y, z)\; dS
</math>
 
: <math>\!
\eta={1 \over M} \iint_{S} y \delta(x, y, z)\; dS
</math>
 
: <math>\!
\zeta={1 \over M} \iint_{S} z \delta(x, y, z)\; dS
</math>
компоненти сили притягання <math>\!F</math> цього розподілу [[маса|маси]], що діє на матеріальну точку <math>\!M=(x_0, y_0, z_0)</math> одиничної маси, дорівнюють
 
: <math>\!
F_x=\gamma \iint_{S} {{x-x_0} \over r^3}\; dS
</math>
 
: <math>\!
F_y=\gamma \iint_{S} {{y-y_0} \over r^3}\; dS
</math>
 
: <math>\!
F_z=\gamma \iint_{S} {{z-z_0} \over r^3}\; dS
</math>
 
: <math>\!\gamma= const</math>
 
== ДивітьсяДив. також ==
{{Портал|Математика}}
* [[Інтегральне числення]].
 
== Джерела ==
 
* ''Бронштейн&nbsp;И.&nbsp;Н.'', ''Семендяев&nbsp;К.&nbsp;А.'' Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов.&nbsp;— М.: Наука, 1980.&nbsp;— 976&nbsp;с., ил.
 

Навігаційне меню