Відмінності між версіями «Стала функція»

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
[неперевірена версія][перевірена версія]
(оформлення)
 
Рядок 1: Рядок 1:
 
[[Файл:Wiki_constant_function_175_200.png|400px|thumb|Стала функція ''y'' = 4.]]
 
 
У [[Математика|математиці]] '''стала функція'''&nbsp;— це [[Функція (математика)|функція,]] у якої вихідне значення є однаковим для кожного вхідного значення.<ref>{{Cite book
[[Файл:Wiki_constant_function_175_200.png|праворуч|308x308пкс| Постійна функція ''y'' = 4 ]]
 
 
У [[Математика|математиці]] '''стала функція''' — це [[Функція (математика)|функція,]] у якої вихідне значення є однаковим для кожного вхідного значення.<ref>{{Cite book
 
 
|title=Encyclopedia of Mathematics
 
|title=Encyclopedia of Mathematics
 
|last=Tanton
 
|last=Tanton
Рядок 21: Рядок 19:
 
|year=1999
 
|year=1999
 
|publisher=CRC Press, London
 
|publisher=CRC Press, London
|page=313|isbn=0-8493-9640-9}}</ref> Наприклад, функція <math>y(x) = 4</math> є сталою функцією, тому що значення <math>y(x)</math> дорівнює 4 незалежно від вхідного значення <math>x</math> (див. зображення).
+
|page=313|isbn=0-8493-9640-9}}</ref> Наприклад, функція <math>y(x) = 4</math> є сталою функцією, тому що значення <math>y(x)</math> дорівнює 4 незалежно від вхідного значення <math>x</math> (див. зображення).
   
 
== Основні властивості ==
 
== Основні властивості ==
 
Як дійсна функція дійсної змінної, стала функція має загальну форму <math>y(x)=c</math> або просто <math>y=c</math>.
 
Як дійсна функція дійсної змінної, стала функція має загальну форму <math>y(x)=c</math> або просто <math>y=c</math>.
   
: '''Приклад:''' Функція <math>y(x)=2</math> або просто <math>y=2</math> є конкретною сталою функцією, у якої вихідним значенням є <math>c=2</math>. [[Область визначення]] цієї функції — множина всіх дійсних чисел ℝ. [[Область значень]] цієї функції — тільки {2}. Незалежна змінна ''x'' не з'являється у правій частині виразу функції, і тому її значення є "вакуумно заміщеним". А саме ''y''(0)=2, ''y''(−2.7)=2, ''y''(π)=2,... . Незалежно від того, яке значення ''x'' є на вході, вихідним буде "2".
+
: '''Приклад:''' Функція <math>y(x)=2</math> або просто <math>y=2</math> є конкретною сталою функцією, у якої вихідним значенням є <math>c=2</math>. [[Область визначення]] цієї функції&nbsp;— множина всіх дійсних чисел ℝ. [[Область значень]] цієї функції&nbsp;— тільки {2}. Незалежна змінна ''x'' не з'являється у правій частині виразу функції, і тому її значення є «по різному підставляється». А саме ''y''(0)=2, ''y''(−2.7)=2, ''y''(π)=2, . Незалежно від того, яке значення ''x'' є на вході, вихідним буде «2».
   
: '''Приклад з реального життя:''' Магазин, у якому кожен предмет продається за ціною 1 євро.
+
: '''Приклад з реального життя:''' Магазин, у якому кожен предмет продається за ціною 3 гривні.
   
Графік сталої функції <math>y=c</math> — '''горизонтальна лінія''' на [[Площина|площині]], яка проходить через точку <math>(0,c)</math>.<ref>{{Cite web
+
Графік сталої функції <math>y=c</math>&nbsp;— '''горизонтальна лінія''' на [[Площина|площині]], яка проходить через точку <math>(0,c)</math>.<ref>{{Cite web
 
|title=College Algebra
 
|title=College Algebra
 
|last=Dawkins
 
|last=Dawkins
Рядок 38: Рядок 36:
 
|url=http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/Alg/Alg.aspx
 
|url=http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/Alg/Alg.aspx
 
|page=224
 
|page=224
|accessdate=January 12, 2014}}</ref>
+
|accessdate=January 12, 2014}}</ref>
   
У контексті [[Многочлен|многочлена]] від одної змінної ''x'' '''ненульова стала функція''' є поліномом степеня 0 і її загальна форма <math>f(x) = c \, ,\,\, c \neq 0</math>. Ця функція не має точки перетину з віссю x (віссю абсцис), тобто не має [[Нуль функції|кореня (нуля)]]. З іншого боку, поліном <math>f(x)=0</math> є '''тотожно нульовою функцією'''. Це (тривіальна) стала функція, і кожен ''x'' є коренем. Її графік — це вісь x на площині.<ref>{{Cite book
+
Як [[многочлен]] від одної змінної ''x'', '''ненульова стала функція''' є поліномом степеня 0 і її загальна форма <math>f(x) = c, c \neq 0</math>. Ця функція не має точки перетину з віссю x (віссю абсцис), тобто не має [[Нуль функції|кореня (нуля)]]. З іншого боку, поліном <math>f(x)=0</math> є '''тотожно нульовою функцією'''. Це (тривіальна) стала функція, і кожен ''x'' є коренем. Її графік&nbsp;— це вісь x на площині.<ref>{{Cite book
 
|title=Advanced Mathematical Concepts - Pre-calculus with Applications, Student Edition
 
|title=Advanced Mathematical Concepts - Pre-calculus with Applications, Student Edition
 
|last=Carter
 
|last=Carter
Рядок 57: Рядок 55:
 
|page=22
 
|page=22
 
|chapter=1
 
|chapter=1
|isbn=978-0078682278}}</ref>
+
|isbn=978-0078682278}}</ref>
   
Стала функція є [[Парна функція|парною функцією]], тобто графік сталої функції симетричний відносно осі ''y''.
+
Стала функція є [[Парна функція|парною функцією]], тобто графік сталої функції симетричний відносно осі ''y''.
   
 
У контексті, де вона визначена, [[похідна]] функції є мірою швидкості зміни значень функцій щодо зміни вхідних значень. Оскільки стала функція не змінюється, її похідна дорівнює 0.<ref>{{Cite web
 
У контексті, де вона визначена, [[похідна]] функції є мірою швидкості зміни значень функцій щодо зміни вхідних значень. Оскільки стала функція не змінюється, її похідна дорівнює 0.<ref>{{Cite web
Рядок 71: Рядок 69:
 
|url=http://www.proofwiki.org/wiki/Zero_Derivative_implies_Constant_Function
 
|url=http://www.proofwiki.org/wiki/Zero_Derivative_implies_Constant_Function
 
|title=Zero Derivative implies Constant Function
 
|title=Zero Derivative implies Constant Function
|accessdate=January 12, 2014}}</ref>
+
|accessdate=January 12, 2014}}</ref>
   
: '''Приклад:''' Дано сталу функцію <math>y(x)=-\sqrt{2}</math>. Похідна від ''y'' — тотожно нульова функція <math>y'(x)=(-\sqrt{2})'=0</math>.
+
: '''Приклад:''' Дано сталу функцію <math>y(x)=-\sqrt{2}</math>. Похідна від ''y''&nbsp;— тотожно нульова функція <math>y\,'(x)=(-\sqrt{2})'=0</math>.
   
 
== Інші властивості ==
 
== Інші властивості ==
Для функцій між [[Передпорядок|попередньо впорядкованими множинами]], сталі функції є такими, що [[Монотонна функція|зберігають порядок]] і роблять [[Монотонна функція|зворотний порядок]]; і навпаки, якщо ''f'' одночасно зберігає порядок і змінює порядок на обернений, і якщо [[Область визначення|область]] ''f'' — [[Ґратка (порядок)|решітка]], то ''f'' повинна бути сталою.
+
Для функцій між [[Передпорядок|попередньо впорядкованими множинами]], сталі функції є такими, що [[Монотонна функція|зберігають порядок]] і роблять [[Монотонна функція|зворотний порядок]]; і навпаки, якщо ''f'' одночасно зберігає порядок і змінює порядок на обернений, і якщо [[Область визначення|область]] ''f''&nbsp;— [[Ґратка (порядок)|решітка]], то ''f'' повинна бути сталою.
   
 
* Кожна стала функція, у якої [[область визначення]] і [[область значень]] є однакові, є [[Ідемпотентність|ідемпотентною]].
 
* Кожна стала функція, у якої [[область визначення]] і [[область значень]] є однакові, є [[Ідемпотентність|ідемпотентною]].
Рядок 89: Рядок 87:
 
* Кожна множина X [[Ізоморфізм|ізоморфна]] множині сталих функцій у ній. Для кожного елемента x і будь-якої множини Y існує унікальна функція <math>\tilde{x}: Y \rightarrow X</math> така, що <math>\tilde{x}(y) = x</math> для всіх <math>y \in Y</math>. І навпаки, якщо функція <math>f: Y \rightarrow X</math> задовольняє <math>f(y) = f(y')</math> для всіх <math>y, y' \in Y</math>, <math>f</math> за визначенням є сталою функцією.
 
* Кожна множина X [[Ізоморфізм|ізоморфна]] множині сталих функцій у ній. Для кожного елемента x і будь-якої множини Y існує унікальна функція <math>\tilde{x}: Y \rightarrow X</math> така, що <math>\tilde{x}(y) = x</math> для всіх <math>y \in Y</math>. І навпаки, якщо функція <math>f: Y \rightarrow X</math> задовольняє <math>f(y) = f(y')</math> для всіх <math>y, y' \in Y</math>, <math>f</math> за визначенням є сталою функцією.
 
** Як наслідок, одноточкова множина є {{Нп|Генератор (теорія категорій)|генератором||Generator (category theory)}} в категорії множин.
 
** Як наслідок, одноточкова множина є {{Нп|Генератор (теорія категорій)|генератором||Generator (category theory)}} в категорії множин.
** Кожна множина <math>X</math> канонічно ізоморфна множині функцій <math>X^1</math>, або [[Морфізм|множині Hom]] <math>\operatorname{hom}(1,X)</math> у категорії множин, де 1 — це одноточкова множина. Через це і через приєднання між декартовими добутками і hom в категорії множин (тому існує канонічний ізоморфізм між функціями двох змінних і функціями однієї змінної, що оцінюється в функціях іншої (єдиної) змінної, <math>\operatorname{hom}(X \times Y,Z) \cong \operatorname{hom}(X(\operatorname{hom}(Y,Z))</math>) категорія множин є {{Нп|Замкнута моноїдна категорія|замкнутою моноїдною категорією||Closed monoidal category}} з [[Декартів добуток множин|декартовим добутком множин]] як тензорним добутком і одноточковою множиною як тензорною одиницею. В ізоморфізмах <math>\lambda :1\times X \cong X\cong X\times1:\rho</math> [[Натуральне перетворення|натуральних в X]], ліві та праві одиниці являють собою проекції <math>p_1</math> і <math>p_2</math> [[Впорядкована пара|впорядкованих пар]] <math>(*,x)</math> і <math>(x,*)</math> відповідно до елемента <math>x</math>, де <math>*</math> є унікальною [[Точка|точкою]] в одноточковій множині.
+
** Кожна множина <math>X</math> канонічно ізоморфна множині функцій <math>X^1</math>, або [[Морфізм|множині Hom]] <math>\operatorname{hom}(1,X)</math> у категорії множин, де 1&nbsp;— це одноточкова множина. Через це і через приєднання між декартовими добутками і hom в категорії множин (тому існує канонічний ізоморфізм між функціями двох змінних і функціями однієї змінної, що оцінюється в функціях іншої (єдиної) змінної, <math>\operatorname{hom}(X \times Y,Z) \cong \operatorname{hom}(X(\operatorname{hom}(Y,Z))</math>) категорія множин є {{Нп|Замкнута моноїдна категорія|замкнутою моноїдною категорією||Closed monoidal category}} з [[Декартів добуток множин|декартовим добутком множин]] як тензорним добутком і одноточковою множиною як тензорною одиницею. В ізоморфізмах <math>\lambda :1\times X \cong X\cong X\times1:\rho</math> [[Натуральне перетворення|натуральних в X]], ліві та праві одиниці являють собою проекції <math>p_1</math> і <math>p_2</math> [[Впорядкована пара|впорядкованих пар]] <math>(*,x)</math> і <math>(x,*)</math> відповідно до елемента <math>x</math>, де <math>*</math> є унікальною [[Точка|точкою]] в одноточковій множині.
   
 
Функція на [[Зв'язаний простір|зв'язаній множині]] є {{Нп|Локально стала функція|локально стала||Locally constant function}} тоді і тільки тоді, коли вона стала.
 
Функція на [[Зв'язаний простір|зв'язаній множині]] є {{Нп|Локально стала функція|локально стала||Locally constant function}} тоді і тільки тоді, коли вона стала.
Рядок 96: Рядок 94:
 
{{Reflist}}
 
{{Reflist}}
   
* Herrlich, Horst and Strecker, George E., ''Category Theory'', Heldermann Verlag (2007).
+
* Herrlich, Horst and Strecker, George E., ''Category Theory'', Heldermann Verlag (2007).
   
  +
== Посилання ==
== Зовнішні посилання ==
 
 
{{commons category|Constant functions}}
 
{{commons category|Constant functions}}
*{{MathWorld |title=Constant Function |urlname=ConstantFunction}}
+
* {{MathWorld |title=Constant Function |urlname=ConstantFunction}}
*{{planetmath reference|id=4727|title=Constant function}}
+
* {{planetmath reference|id=4727|title=Constant function}}
   
 
{{Алгебраїчні рівняння (список)}}
 
{{Алгебраїчні рівняння (список)}}

Поточна версія на 18:41, 13 липня 2019

Стала функція y = 4.

У математиці стала функція — це функція, у якої вихідне значення є однаковим для кожного вхідного значення.[1][2][3] Наприклад, функція є сталою функцією, тому що значення дорівнює 4 незалежно від вхідного значення (див. зображення).

Основні властивості[ред. | ред. код]

Як дійсна функція дійсної змінної, стала функція має загальну форму або просто .

Приклад: Функція або просто є конкретною сталою функцією, у якої вихідним значенням є . Область визначення цієї функції — множина всіх дійсних чисел ℝ. Область значень цієї функції — тільки {2}. Незалежна змінна x не з'являється у правій частині виразу функції, і тому її значення є «по різному підставляється». А саме y(0)=2, y(−2.7)=2, y(π)=2,… . Незалежно від того, яке значення x є на вході, вихідним буде «2».
Приклад з реального життя: Магазин, у якому кожен предмет продається за ціною 3 гривні.

Графік сталої функції  — горизонтальна лінія на площині, яка проходить через точку .[4]

Як многочлен від одної змінної x, ненульова стала функція є поліномом степеня 0 і її загальна форма . Ця функція не має точки перетину з віссю x (віссю абсцис), тобто не має кореня (нуля). З іншого боку, поліном є тотожно нульовою функцією. Це (тривіальна) стала функція, і кожен x є коренем. Її графік — це вісь x на площині.[5]

Стала функція є парною функцією, тобто графік сталої функції симетричний відносно осі y.

У контексті, де вона визначена, похідна функції є мірою швидкості зміни значень функцій щодо зміни вхідних значень. Оскільки стала функція не змінюється, її похідна дорівнює 0.[6] Часто це пишеться: . Зворотне також вірно. А саме, якщо y'(x)=0 для всіх дійсних чисел x, то y(x) є сталою функцією.[7]

Приклад: Дано сталу функцію . Похідна від y — тотожно нульова функція .

Інші властивості[ред. | ред. код]

Для функцій між попередньо впорядкованими множинами, сталі функції є такими, що зберігають порядок і роблять зворотний порядок; і навпаки, якщо f одночасно зберігає порядок і змінює порядок на обернений, і якщо область f — решітка, то f повинна бути сталою.

  • Кожна стала функція, у якої область визначення і область значень є однакові, є ідемпотентною.
  • Кожна стала функція між топологічними просторами є неперервною.
  • Стала функція проходить через одноточкову множину, термінальний об'єкт у категорії множин. Це спостереження є визначальним для аксіоматизації теорії множин Ф. Вільяма Ловера[en], елементарної теорії категорії множин (ETCS).[8]
  • Кожна множина X ізоморфна множині сталих функцій у ній. Для кожного елемента x і будь-якої множини Y існує унікальна функція така, що для всіх . І навпаки, якщо функція задовольняє для всіх , за визначенням є сталою функцією.
    • Як наслідок, одноточкова множина є генератором[en] в категорії множин.
    • Кожна множина канонічно ізоморфна множині функцій , або множині Hom у категорії множин, де 1 — це одноточкова множина. Через це і через приєднання між декартовими добутками і hom в категорії множин (тому існує канонічний ізоморфізм між функціями двох змінних і функціями однієї змінної, що оцінюється в функціях іншої (єдиної) змінної, ) категорія множин є замкнутою моноїдною категорією[en] з декартовим добутком множин як тензорним добутком і одноточковою множиною як тензорною одиницею. В ізоморфізмах натуральних в X, ліві та праві одиниці являють собою проекції і впорядкованих пар і відповідно до елемента , де є унікальною точкою в одноточковій множині.

Функція на зв'язаній множині є локально стала[en] тоді і тільки тоді, коли вона стала.

Посилання[ред. | ред. код]

  1. Tanton, James (2005). Encyclopedia of Mathematics. Facts on File, New York. с. 94. ISBN 0-8160-5124-0. 
  2. C.Clapham, J.Nicholson (2009). Oxford Concise Dictionary of Mathematics, Constant Function. Addison-Wesley. с. 175. Процитовано January 12, 2014. 
  3. Weisstein, Eric (1999). CRC Concise Encyclopedia of Mathematics. CRC Press, London. с. 313. ISBN 0-8493-9640-9. 
  4. Dawkins, Paul (2007). College Algebra. Lamar University. с. 224. Процитовано January 12, 2014. 
  5. Carter, John A.; Cuevas, Gilbert J.; Holliday, Berchie; Marks, Daniel; McClure, Melissa S. (2005). 1. Advanced Mathematical Concepts - Pre-calculus with Applications, Student Edition (вид. 1). Glencoe/McGraw-Hill School Pub Co. с. 22. ISBN 978-0078682278. 
  6. Dawkins, Paul (2007). Derivative Proofs. Lamar University. Процитовано January 12, 2014. 
  7. Zero Derivative implies Constant Function. Процитовано January 12, 2014. 
  8. Leinster, Tom (27 Jun 2011). «An informal introduction to topos theory». arXiv:1012.5647 [math.CT]. 
  • Herrlich, Horst and Strecker, George E., Category Theory, Heldermann Verlag (2007).

Посилання[ред. | ред. код]