Відмінності між версіями «Статистика Максвелла — Больцмана»

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
[неперевірена версія][неперевірена версія]
 
(Не показано 4 проміжні версії 4 користувачів)
Рядок 1: Рядок 1:
 
{{Статистична фізика}}
 
{{Статистична фізика}}
'''Статистика Максвелла — Больцмана''' — статистичний метод опису фізичних систем, що містять велику кількість невзаємодіючих частинок, що рухаються за законами класичної механіки (тобто класичного [[ідеальний газ|ідеального газу]]); запропонована в 1871 р. австрійським фізиком [[Людвіг Больцман|Л. Больцманом]].
+
'''Статистика Максвелла — Больцмана''' — статистичний метод опису фізичних систем, що містять велику кількість невзаємодійних частинок, що рухаються за законами класичної механіки (тобто класичного [[ідеальний газ|ідеального газу]]); запропонована в 1871 р. австрійським фізиком [[Людвіг Больцман|Л. Больцманом]].
   
 
== Вивід розподілу ==
 
== Вивід розподілу ==
Рядок 8: Рядок 8:
 
\varepsilon = \varepsilon_{kin} + u(x,y,z)
 
\varepsilon = \varepsilon_{kin} + u(x,y,z)
 
</math>, де
 
</math>, де
<math>\varepsilon_{kin}</math> — кінетична енергія її ''поступального руху'', а <math>~u</math> — потенційна енергія в зовнішньому полі, яка залежить від її положення.
+
<math>\varepsilon_{kin}</math>&nbsp;— кінетична енергія її ''поступального руху'', а <math>~u</math>&nbsp;— потенційна енергія в зовнішньому полі, яка залежить від її положення.
   
 
Підставимо цей вираз для енергії у розподіл Ґіббса для молекули ідеального газу
 
Підставимо цей вираз для енергії у розподіл Ґіббса для молекули ідеального газу
Рядок 17: Рядок 17:
 
\right)
 
\right)
 
</math>
 
</math>
(де <math>~\mathrm{d} w </math> — ймовірність того, що частка перебуває в стані зі значеннями координат <math>~q</math> і імпульсів <math>~p</math>, в інтервалі <math>~\mathrm{d}p_x \mathrm{d}p_y \mathrm{d}p_z \mathrm{d}V</math>)
+
(де <math>~\mathrm{d} w </math>&nbsp;— ймовірність того, що частка перебуває в стані зі значеннями координат <math>~q</math> і імпульсів <math>~p</math>, в інтервалі <math>~\mathrm{d}p_x \mathrm{d}p_y \mathrm{d}p_z \mathrm{d}V</math>)
   
 
маємо:
 
маємо:
Рядок 58: Рядок 58:
 
</math>.
 
</math>.
   
Отриманий розподіл ймовірностей, що характеризує ймовірність того, що молекула має даний імпульс і знаходиться в даному елементі об'єму, носить назву ''розподіл Максвелла - Больцмана''.
+
Отриманий розподіл ймовірностей, що характеризує ймовірність того, що молекула має даний імпульс і знаходиться в даному елементі об'єму, носить назву ''розподіл Максвелла&nbsp;— Больцмана''.
   
 
== Деякі властивості ==
 
== Деякі властивості ==
При розгляді розподілу Максвелла - Больцмана, кидається в очі важлива властивість - його можна представити як добуток двох множників:
+
При розгляді розподілу Максвелла&nbsp;— Больцмана, кидається в очі важлива властивість&nbsp;— його можна представити як добуток двох множників:
 
: <math>
 
: <math>
 
\mathrm{d} w = \left[
 
\mathrm{d} w = \left[
Рядок 74: Рядок 74:
 
\right] \qquad\qquad (2)
 
\right] \qquad\qquad (2)
 
</math>.
 
</math>.
Перший множник є не що інше, як розподіл Максвелла, воно характеризує розподіл ймовірностей по імпульсах. Другий множник залежить лише від координат частинок і визначається видом її потенційної енергії. Він характеризує ймовірність виявлення частки в обсязі dV.
+
'''Перший''' множник є не що інше, як розподіл Максвелла, воно характеризує розподіл ймовірностей по імпульсах. '''Другий''' множник залежить лише від координат частинок і визначається видом її потенційної енергії. Він характеризує ймовірність виявлення частки в обсязі dV.
   
Згідно з [[теорія ймовірностей|теорією ймовірностей]], розподіл Максвелла - Больцмана можна розглядати як добуток ймовірностей двох незалежних подій - ймовірність даного значення імпульсу та даного положення молекули. Перша з них:
+
Згідно з [[теорія ймовірностей|теорією ймовірностей]], розподіл Максвелла&nbsp;— Больцмана можна розглядати як '''''добуток ймовірностей''''' двох незалежних подій&nbsp;— ймовірність даного значення імпульсу та даного положення молекули. Перша з них:
   
 
: <math>
 
: <math>
Рядок 94: Рядок 94:
 
— розподіл Больцмана. Очевидно, що кожне з них нормовано на одиницю.
 
— розподіл Больцмана. Очевидно, що кожне з них нормовано на одиницю.
   
  +
=== Більш фундаментальні явища ===
 
Розподіл Больцмана є окремим випадком [[розподіл Ґіббса|канонічного розподілу Ґіббса]] для ідеального газу в зовнішньому потенціальному полі, так як за відсутності взаємодії між частками розподіл Гіббса розпадається на твір розподілів Больцмана для окремих частинок.
 
Розподіл Больцмана є окремим випадком [[розподіл Ґіббса|канонічного розподілу Ґіббса]] для ідеального газу в зовнішньому потенціальному полі, так як за відсутності взаємодії між частками розподіл Гіббса розпадається на твір розподілів Больцмана для окремих частинок.
   
  +
=== Важливий наслідок ===
 
Незалежність ймовірностей дає важливий результат: ймовірність даного значення імпульсу абсолютно не залежить від положення молекули і, навпаки, ймовірність положення молекули не залежить від її імпульсу. Це означає що розподіл часток по імпульсах (швидкостям) не залежить від поля, іншими словами залишається тим же самим від точки до точки простору, в якому укладений газ. Змінюється лише вірогідність виявлення частки або, що те ж саме, число частинок.
 
Незалежність ймовірностей дає важливий результат: ймовірність даного значення імпульсу абсолютно не залежить від положення молекули і, навпаки, ймовірність положення молекули не залежить від її імпульсу. Це означає що розподіл часток по імпульсах (швидкостям) не залежить від поля, іншими словами залишається тим же самим від точки до точки простору, в якому укладений газ. Змінюється лише вірогідність виявлення частки або, що те ж саме, число частинок.
   
Рядок 103: Рядок 105:
 
* [[Статистика Бозе—Ейнштейна]]
 
* [[Статистика Бозе—Ейнштейна]]
 
* [[Розподіл Ґіббса]]
 
* [[Розподіл Ґіббса]]
  +
== Посилання ==
 
  +
* [http://lp.edu.ua//fileadmin/IPMFN/KF/zachek/zachek10_Word.doc Елементи фізики твердого тіла]{{Недоступне посилання|date=червень 2019 |bot=InternetArchiveBot }}
 
{{phys-stub}}
 
{{phys-stub}}
   
 
[[Категорія:Молекулярна фізика]]
 
[[Категорія:Молекулярна фізика]]
 
[[Категорія:Статистична фізика]]
 
[[Категорія:Статистична фізика]]
 
[[ar:إحصاء ماكسويل-بولتزمان]]
 
[[ca:Estadística de Maxwell-Boltzmann]]
 
[[en:Maxwell–Boltzmann statistics]]
 
[[es:Estadística de Maxwell-Boltzmann]]
 
[[fr:Statistique de Maxwell-Boltzmann]]
 
[[kk:Больцман үлестірілуі]]
 
[[ko:맥스웰-볼츠만 통계]]
 
[[nov:Distributione de Maxwell-Boltzmann]]
 
[[pt:Estatística de Maxwell–Boltzmann]]
 
[[ru:Статистика Максвелла — Больцмана]]
 
[[zh:麦克斯韦-玻尔兹曼统计]]
 

Поточна версія на 13:34, 30 грудня 2020

Статистична фізика
Термодинаміка
Кінетична теорія
 
Див. також: Портал:Фізика

Статистика Максвелла — Больцмана — статистичний метод опису фізичних систем, що містять велику кількість невзаємодійних частинок, що рухаються за законами класичної механіки (тобто класичного ідеального газу); запропонована в 1871 р. австрійським фізиком Л. Больцманом.

Вивід розподілу[ред. | ред. код]

Із загального розподілу Ґіббса. Розглянемо систему частинок, що знаходиться в однорідному полі. В такому полі кожна молекула ідеального газу має повну енергією

, де

 — кінетична енергія її поступального руху, а  — потенційна енергія в зовнішньому полі, яка залежить від її положення.

Підставимо цей вираз для енергії у розподіл Ґіббса для молекули ідеального газу (де  — ймовірність того, що частка перебуває в стані зі значеннями координат і імпульсів , в інтервалі )

маємо:

,

де статистичний інтеграл рівний:

інтегрування ведеться по всіх можливих значень змінних. Далі статистичний інтеграл можна написати у вигляді:

,

ми знаходимо, що нормоване на одиницю розподіл Ґіббса для молекули газу при наявності зовнішнього поля має вигляд:

.

Отриманий розподіл ймовірностей, що характеризує ймовірність того, що молекула має даний імпульс і знаходиться в даному елементі об'єму, носить назву розподіл Максвелла — Больцмана.

Деякі властивості[ред. | ред. код]

При розгляді розподілу Максвелла — Больцмана, кидається в очі важлива властивість — його можна представити як добуток двох множників:

.

Перший множник є не що інше, як розподіл Максвелла, воно характеризує розподіл ймовірностей по імпульсах. Другий множник залежить лише від координат частинок і визначається видом її потенційної енергії. Він характеризує ймовірність виявлення частки в обсязі dV.

Згідно з теорією ймовірностей, розподіл Максвелла — Больцмана можна розглядати як добуток ймовірностей двох незалежних подій — ймовірність даного значення імпульсу та даного положення молекули. Перша з них:

представляє розподіл Максвелла, друга ймовірність:

— розподіл Больцмана. Очевидно, що кожне з них нормовано на одиницю.

Більш фундаментальні явища[ред. | ред. код]

Розподіл Больцмана є окремим випадком канонічного розподілу Ґіббса для ідеального газу в зовнішньому потенціальному полі, так як за відсутності взаємодії між частками розподіл Гіббса розпадається на твір розподілів Больцмана для окремих частинок.

Важливий наслідок[ред. | ред. код]

Незалежність ймовірностей дає важливий результат: ймовірність даного значення імпульсу абсолютно не залежить від положення молекули і, навпаки, ймовірність положення молекули не залежить від її імпульсу. Це означає що розподіл часток по імпульсах (швидкостям) не залежить від поля, іншими словами залишається тим же самим від точки до точки простору, в якому укладений газ. Змінюється лише вірогідність виявлення частки або, що те ж саме, число частинок.

Див. також[ред. | ред. код]

Посилання[ред. | ред. код]