Стохастична матриця

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Стохасти́чна ма́трицяматриця, усі елементи якої є невід'ємними і сума елементів рядків чи стовпців рівна одиниці. Стохастичні матриці широко використовуються в теорії ймовірностей зокрема при вивченні ланцюгів Маркова.

Визначення[ред. | ред. код]

  • Матриця називається стохасти́чною справа (або просто стохастичною), якщо
та
  • Матриця називається стохасти́чною злі́ва, якщо
та
  • Матриця називається двічі стохасти́чною, якщо вона стохастична справа і зліва.

Зв'язок з ланцюгами Маркова[ред. | ред. код]

Стохастична матриця є матрицею ймовірностей переходів деякого ланцюга Маркова. Так якщо імовірність переходу зі стану i в стан j рівна то наступна матриця буде очевидно стохастичною:

Властивості[ред. | ред. код]

  • Якщо та — дві матриці стохастичні зліва (справа, двічі), то і їх добуток теж є стохастичною зліва (справа, двічі) матрицею.

Справді розглянемо стохастичну справа матрицю, для інших доведення аналогічне. Сума елементів i-го рядка матриці рівна:

тобто добуток матриць є стохастичною матрицею.

Скінченна стохастична матриця[ред. | ред. код]

Якщо стохастична матриця є скінченною, то її спектральний радіус (найбільше абсолютне значення її власних чисел) є рівним одиниці. Очевидно, що 1 є власним значенням будь якої стохастичної матриці. Для (правої) стохастичної матриці вектор, усі елементи якого рівні 1 буде власним вектором. Для власного значення 1 також існує лівий власний вектор усі елементи якого є невід'ємними.

Якщо до того ж матриця є нерозкладною тог згідно теореми Перрона — Фробеніуса 1 буде простим власним значенням (простим коренем характеристичного многочлена) і якщо — лівий власний вектор, що відповідає одиниці тобто:

то всі елементи цього вектора є додатними. До того ж буде єдиним лівим власним вектором всі елементи якого є невід'ємними дійсними числами.

Скінченна стохастична матриця називається регуля́рною, якщо існує таке , що

,

де — елементи -ої степені матриці , тобто .

Якщо — регулярна стохастична матриця, то

,

де — вектор розмірності , усі елементи якого рівні одиниці, а  — визначений раніше власний вектор.

Див. також[ред. | ред. код]

Література[ред. | ред. код]

  • Bapat R. B., Raghavan T. E. S. Nonnegative matrices and applications, Cambridge University Press, 1997, ISBN 0-521-57167-7