Субдиференціал

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
Опукла функція (синя) та «лінії субградієнту» в x0 (червоні).

У математиці, зокрема, в опуклому аналізі, поняття субдиференціалу та субградієнту є узагальненнями відповідних понять диференціалу та градієнту класичного аналізу.

Визначення

Нехай функція на евклідовому просторі Вектор називається субградієнтом функції в точці якщо справджується нерівність

Множина всіх субградієнтів називається субдиференціалом функції f(x) в точці і позначається . Використовуючи математичну символіку можна записати визначення субдиференціалу:

Приклад

Для функції однієї дійсної змінної маємо:

Властивості

  • Опукла функція є диференційовною в точці тоді і тільки тоді, коли субдиференційал функції в точці складається з єдиного числа. Це число і є похідною функції в точці .
  • Точка є точкою глобального мінімуму опуклої функції тоді і тільки тоді, коли нуль входить до її субдиференціалу, тобто коли на рисунку вище можна провести горизонтальну дотичну в точці до графіку функції .
  • Якщо і є опуклими функціями з субдиференціалами і , то субдиференціалом функції є , де позначає суму Мінковського.

Див. також

Джерела