Тензор кривини

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Версія від 19:21, 12 січня 2017, створена BackFire (обговореннявнесок)
(різн.) ← Попередня версія • Поточна версія (різн.) • Новіша версія → (різн.)
Jump to navigation Jump to search

Тензор Рімана (тензор внутрішньої кривини многовида) з'являється при розгляді комутатора коваріантних похідних коваріантного вектора (дивіться статтю Диференціальна геометрія)

Замість коваріантних компонент можна підставити базисні вектори :

І враховуючи, що коваріантна похідна від базисних векторів дорівнює векторам повної кривини (дивіться Прості обчислення диференціальної геометрії), маємо:

Домножимо формулу (3) скалярно на , i врахуємо ортогональність векторів кривини до многовиду: . В результаті одержуємо формулу для коваріантних компонент тензора Рімана:

або після зміни знаку і перейменування індексів:

Як можна побачити з останнього рівняння (в скалярних добутках індекси і переставлені), тензор Рімана антисиметричний за першою парою індексів і за другою парою індексів (при перестановці зменшуване і від'ємник у правій частині формули (4) міняються місцями):

Також легко бачити, що тензор Рімана не змінюється при перестановці першої пари індексів з другою парою індексів (при перестановці у множниках зменшуваного індекси переставляються, але оскільки величини симетричні за індексами, то скалярний добуток зменшуваного не зміниться; у від'ємнику аналогічно, але співмножники в скалярному добутку міняються місцями, що не впливає на результат):

Згортка тензора Рімана за першим і третім індексами (або, що еквівалентно, за другим і четвертим індексами) дає симетричний тензор другого рангу , який називається тензором Річчі:

Тензор Річчі симетричний:

Тензор Річчі можна також згорнути за індексами, одержавши скалярну кривину:

Враховуючи (4), маємо:

Комутатор для контраваріантного векора одержуємо, піднявши індекс у формулі (1):

Оскільки комутатор коваріантних похідних діє на добуток тензорів за правилом диференціального оператора:

то ми можемо, користуючись формулами (1) і (11), обчислити дію комутатора коваріантних похідних на тензор, який є добутком векторів.

Але довільний тензор можна представити лінійною комбінацією таких елементарних тензорів, тому при дії комутатора на довільний тензор з будь-якою кількістю верхніх та нижніх індексів, маємо:

Тензор Рімана задовольняє дві тотожності Біанкі.
Алгебраїчна тотожність Біанкі (циклічна перестановка індексів ):

Диференціальна тотожність Біанкі (циклічна перестановка індексів ):

Існування декартової системи координат[ред.ред. код]

Якщо існує декартова система координат, то [ред.ред. код]

Якщо на многовиді існує декартова система координат (в якій метричний тензор дорівнює одиничній матриці ), то в цій системі координат всі похідні метричного тензора , а отже і всі символи Крістофеля тотожно дорівнюють нулю:

Отже і всі компоненти тензора Рімана в декартовій системі координат дорівнюють нулю:

Але оскільки тензор Рімана при переході в іншу систему координат перетворюється по тензорним правилам:

то він дорівнює нулю в будь-якій іншій системі координат на цьому многовиді.


Якщо , то можна побудувати декартову систему координат[ред.ред. код]

Нехай тензор Рімана тотожно дорівнює нулю в деякій зв'язній області многовида. Візьмемо довільну точку в межах цієї області - ця точка буде початком нашої майбутньої декартової системи координат. В точці виберемо якийсь ортонормований базис - вектори цього базису будуть задавати додатні напрямки координатних осей майбутньої системи координат.

Розглянемо один із векторів базису, який поки що для простоти позначимо буквою (взагалі-то кількість базисних векторів , і треба було б позначити індексом, який із базисних векторів ми розглядаємо; але поки ми зосередимося на побудові однієї координати).

Користуючись паралельним перенесенням починаючи з точки , в кожній точці області многовида побудуємо вектор, паралельний вектору . Результат перенесення не залежить від шляху переносу (оскільки тензор Рімана дорівнює нулю), а залежить тільки від кінцевої точки. Таким чином ми одержали в нашій області векторне поле:

яке до того ж є постійним стосовно коваріантного диференціювання, тобто справедливі рівності:

З останнього рівняння, враховуючи означення коваріантної похідної і симетрію символів Крістофеля, знаходимо:

Тепер, оскільки

То вектор є градієнтом деякої скалярної функції :

Функцію в якійсь точці області многовида можна обчислити через інтеграл по кривій, що сполучає початок координат і точку :

причому результат інтегрування не залежить від кривої (внаслідок формули Стокса і рівності (5)).

Функція і буде однією з координат. Тепер повернемося до інших векторів базису, цього разу уже пронумеруємо ці вектори індексом, взятим у дужки. Так само для кожного такого вектора побудуємо в нашій області відповідне постійне векторне поле, яке є градієнтом відповідної координати:

Оскільки паралельне перенесення групи векторів зберігає скалярні добутки між ними, а в початку координат ці скалярні добутки дорівнюють одиничній матриці, то в усій області маємо:

тобто координати є декартовими.

Погляд із охоплюючого евклідового простору[ред.ред. код]

Розглянемо рівність:

в якійсь точці многовиду, і дві геодезичні лінії, що проходять через цю точку, але в різних напрямках. Кривини цих геодезичних дорівнюють:

Тепер домножимо (10) на добуток , одержимо:

Висновок - кривини всіх геодезичних напрямлені приблизно в один бік, многовид не має сідлових точок, в яких би різні геодезичні викривлялися в протилежні боки.

Див. також[ред.ред. код]