Теорема Барбашина — Красовського: відмінності між версіями

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
[перевірена версія][перевірена версія]
Немає опису редагування
Рядок 1: Рядок 1:
В теорії [[Звичайні диференціальні рівняння|звичайних диференціальних рівнянь]] '''теорема Барбашина-Красовського''' (також '''принцип інваріантності ЛаСаля'''; {{lang-en|LaSalle's invariance principle}}) дає [[Необхідна і достатня умова|достатні умови]] [[Асимптотична стійкість|асимптотичної стійкості]] нульового розв'язку системи [[Звичайні диференціальні рівняння|звичайних диференціальних рівнянь]].<ref name=perestyuk>М.&nbsp;О.&nbsp;Перестюк, О.&nbsp;С.&nbsp;Чернікова. [http://mechmat.univ.kiev.ua/dload/pos/teor_stij.pdf''Теорія стійкості''] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160304224308/http://mechmat.univ.kiev.ua/dload/pos/teor_stij.pdf |date=4 березень 2016 }}, '''§3. Узагальнення теореми Ляпунова про асимптотичну стійкість''', '''§4. Узагальнення третьої теореми Ляпунова'''. {{ref-ua| }}</ref> Загальне твердження було незалежно доведене {{нп|Миколай Красовський|М.&nbsp;М.&nbsp;Красовським|ru|Красовский, Николай Николаевич}}<ref name=krasovskii>Красовский Н. Н. [http://ikfia.ysn.ru/images/doc/Obknoven_differ_uravneniya/Krasovskij1959ru.pdf ''Некоторые задачи теории устойчивости движения''] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20151119183337/http://ikfia.ysn.ru/images/doc/Obknoven_differ_uravneniya/Krasovskij1959ru.pdf |date=19 листопад 2015 }}, 1959. {{ref-ru}}</ref> та [[Джозеф П'єр ЛаСаль|Д.&nbsp;П.&nbsp;ЛаСалєм]]<ref name=lasalle>[[Джозеф П'єр ЛаСаль|LaSalle, J.P.]] [http://www.math.psu.edu/treluga/511/LaSalle1960.pdf ''Some extensions of Liapunov's second method''], IRE Transactions on Circuit Theory, CT-7, pp.&nbsp;520-527, 1960. {{ref-en}}</ref>. В англомовних джерелах результат відомий під назвою ''принцип інваріантності ЛаСаля'' ({{lang-en|LaSalle's invariance principle}}), тоді як в українській (та радянській) літературі здебільшого вживається термін ''теорема Красовського'', або ''теорема Барбашина-Красовського''.
У теорії [[Звичайні диференціальні рівняння|звичайних диференціальних рівнянь]] '''теоре́ма Барба́шина — Красо́вського''' (також '''при́нцип інваріа́нтності ЛаСа́ля'''; {{lang-en|LaSalle's invariance principle}}) дає [[Необхідна і достатня умова|достатні умови]] [[Стійкість (динамічні системи)|асимптотичної стійкості]] нульового розв'язку системи [[Звичайні диференціальні рівняння|звичайних диференціальних рівнянь]].<ref name=perestyuk>М.&nbsp;О.&nbsp;Перестюк, О.&nbsp;С.&nbsp;Чернікова. [http://mechmat.univ.kiev.ua/dload/pos/teor_stij.pdf''Теорія стійкості''] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160304224308/http://mechmat.univ.kiev.ua/dload/pos/teor_stij.pdf |date=4 березень 2016 }}, §3. Узагальнення теореми Ляпунова про асимптотичну стійкість, §4. Узагальнення третьої теореми Ляпунова.</ref> Загальне твердження було незалежно доведене {{нп|Миколай Красовський|М.&nbsp;М.&nbsp;Красовським|ru|Красовский, Николай Николаевич}}<ref name=krasovskii>Красовский Н. Н. [http://ikfia.ysn.ru/images/doc/Obknoven_differ_uravneniya/Krasovskij1959ru.pdf ''Некоторые задачи теории устойчивости движения''] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20151119183337/http://ikfia.ysn.ru/images/doc/Obknoven_differ_uravneniya/Krasovskij1959ru.pdf |date=19 листопад 2015 }}, 1959. {{ref-ru}}</ref> та [[Джозеф П'єр ЛаСаль|Д.&nbsp;П.&nbsp;ЛаСалєм]]<ref name=lasalle>[[Джозеф П'єр ЛаСаль|LaSalle, J.P.]] [http://www.math.psu.edu/treluga/511/LaSalle1960.pdf ''Some extensions of Liapunov's second method''], IRE Transactions on Circuit Theory, CT-7, pp.&nbsp;520-527, 1960. {{ref-en}}</ref>. В англомовних джерелах результат відомий під назвою ''принцип інваріантності ЛаСаля'' ({{lang-en|LaSalle's invariance principle}}), тоді як в українській (та радянській) літературі здебільшого вживається термін ''теорема Красовського'', або ''теорема Барбашина-Красовського''.


== Постановка ==
== Постановка ==
Стан системи у фазовому просторі <math>\mathbb{R}^n</math> (де <math>n \in \mathbb{N}</math>) в час <math>t \in \mathbb{R}</math> даний точкою <math>\vec{x}(t)=( x_1(t), x_2(t), \dots, x_n(t) )</math>, де <math>x_1, x_2, \dots, x_n</math> [[Диференційовна функція|диференційовні функції]]. Розглянемо систему звичайних диференціальних рівнянь <math>\dot{\vec{x}}(t) = f(\vec{x}(t))</math>, де <math>f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n</math> [[неперервна функція]], <math>f(\vec{x}(t)) = \frac{d}{dt}\vec{x}(t)</math>. Систему можна коротко записати як <math>\dot{\vec{x}} = f(\vec{x})</math>. Припустимо що <math>\vec{0} \in \mathbb{R}^n</math> є точкою рівноваги системи, тобто <math>f(\vec{0}) = \vec{0}</math>.
Стан системи у фазовому просторі <math>\mathbb{R}^n</math> (де <math>n \in \mathbb{N}</math>) в час <math>t \in \mathbb{R}</math> даний точкою <math>\vec{x}(t)=( x_1(t), x_2(t), \dots, x_n(t) )</math>, де <math>x_1, x_2, \dots, x_n</math> [[Диференційовна функція|диференційовні функції]]. Розглянемо систему звичайних диференціальних рівнянь <math>\dot{\vec{x}}(t) = f(\vec{x}(t))</math>, де <math>f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n</math> [[неперервна функція]], <math>f(\vec{x}(t)) = \frac{d}{dt}\vec{x}(t)</math>. Систему можна коротко записати як <math>\dot{\vec{x}} = f(\vec{x})</math>. Припустимо що <math>\vec{0} \in \mathbb{R}^n</math> є точкою рівноваги системи, тобто <math>f(\vec{0}) = \vec{0}</math>.


== Теорема Барбашина-Красовського ==
== Теорема БарбашинаКрасовського ==
Якщо існує {{нп|додатно визначена функція|додатно визначена||positive-definite function}} нескінченно велика функція <math>V(\vec{x})</math> [[Повна похідна|похідна]] від якої по часу <math>\frac{dV}{dt}</math> вздовж траєкторій системи <math>\dot{\vec{x}} = f(\vec{x})</math> є від'ємно-сталою (тобто <math>\frac{dV}{dt} \leq 0</math> повсюди), причому рівність <math>\frac{d}{dt}V(\vec{x}) = 0</math> можлива на монжині, яка не містить цілих траєкторій, крім точки <math>\vec{x} = \vec{0}</math>, то нульовий розв'язок системи рівнянь <math>\dot{\vec{x}} = f(\vec{x})</math> [[стійкість в цілому|стійкий в цілому]].
Якщо існує {{нп|додатно визначена функція|додатно визначена||positive-definite function}} нескінченно велика функція <math>V(\vec{x})</math> [[Повна похідна|похідна]] від якої по часу <math>\frac{dV}{dt}</math> вздовж траєкторій системи <math>\dot{\vec{x}} = f(\vec{x})</math> є від'ємно-сталою (тобто <math>\frac{dV}{dt} \leq 0</math> повсюди), причому рівність <math>\frac{d}{dt}V(\vec{x}) = 0</math> можлива на монжині, яка не містить цілих траєкторій, крім точки <math>\vec{x} = \vec{0}</math>, то нульовий розв'язок системи рівнянь <math>\dot{\vec{x}} = f(\vec{x})</math> [[стійкість в цілому|стійкий в цілому]].


Рядок 13: Рядок 13:
# <math>V(\vec{x}) \to \infty </math> з тим як <math>||\vec{x}|| \to \infty </math>.
# <math>V(\vec{x}) \to \infty </math> з тим як <math>||\vec{x}|| \to \infty </math>.
Якщо рівність <math>\dot{V}(\vec{x}) \equiv \nabla V \cdot f(\vec{x}) = 0</math> можлива на монжині, яка не містить цілих траєкторій, крім точки <math>\vec{x} = \vec{0}</math>, то нульовий розв'язок системи рівнянь <math>\dot{\vec{x}} = f(\vec{x})</math> [[стійкість в цілому|стійкий в цілому]].
Якщо рівність <math>\dot{V}(\vec{x}) \equiv \nabla V \cdot f(\vec{x}) = 0</math> можлива на монжині, яка не містить цілих траєкторій, крім точки <math>\vec{x} = \vec{0}</math>, то нульовий розв'язок системи рівнянь <math>\dot{\vec{x}} = f(\vec{x})</math> [[стійкість в цілому|стійкий в цілому]].

== Оригінальні статті ==
* {{ref-en}} [[Джозеф П'єр ЛаСаль|LaSalle, J.P.]] [http://www.math.psu.edu/treluga/511/LaSalle1960.pdf ''Some extensions of Liapunov's second method''], IRE Transactions on Circuit Theory, CT-7, pp.&nbsp;520-527, 1960. ('''Загальне твердження''')
* {{ref-ru}} Барбашин Е. А., Красовский Н. Н. ''Об устойчивости движения в целом'', 1952. ('''Окремий випадок''')
* {{ref-ru}} Красовский Н. Н. [https://web.archive.org/web/20151119183337/http://ikfia.ysn.ru/images/doc/Obknoven_differ_uravneniya/Krasovskij1959ru.pdf ''Некоторые задачи теории устойчивости движения''], 1959. ('''Загальне твердження''')

== Посилання ==
* {{ref-ua}} [[Самойленко Анатолій Михайлович|Самойленко, А. М.]], Кривошея С. А., Перестюк Н. А. ''Диференціальні рівняння у прикладах і задачах'', Вища школа, Київ, 1994.
* {{ref-ua}} М.&nbsp;О.&nbsp;Перестюк, О.&nbsp;С.&nbsp;Чернікова. [https://web.archive.org/web/20160304224308/http://mechmat.univ.kiev.ua/dload/pos/teor_stij.pdf''Теорія стійкості''].


== Див. також ==
== Див. також ==
Рядок 30: Рядок 21:
{{reflist}}
{{reflist}}


== Оригінальні статті ==
{{Math-stub}}
* {{lng|en}} ''[[Джозеф П'єр ЛаСаль|LaSalle J. P.]]'' [http://www.math.psu.edu/treluga/511/LaSalle1960.pdf Some extensions of Liapunov's second method], IRE Transactions on Circuit Theory, CT-7, pp.&nbsp;520–527, 1960. Загальне твердження.
* {{lng|ru}} ''Барбашин Е. А., Красовский Н. Н.'' Об устойчивости движения в целом, 1952. Окремий випадок.
* {{lng|ru}} ''Красовский Н. Н.'' [https://web.archive.org/web/20151119183337/http://ikfia.ysn.ru/images/doc/Obknoven_differ_uravneniya/Krasovskij1959ru.pdf Некоторые задачи теории устойчивости движения], 1959. Загальне твердження.

== Посилання ==
* ''[[Самойленко Анатолій Михайлович|Самойленко А. М.]], Кривошея С. А., Перестюк Н. А.'' Диференціальні рівняння у прикладах і задачах. — {{К.}} : Вища школа, 1994.
* ''Перестюк М. О., Чернікова О. С.'' [https://web.archive.org/web/20160304224308/http://mechmat.univ.kiev.ua/dload/pos/teor_stij.pdf Теорія стійкості].

{{^}}{{портали|Математика}}


[[Категорія:Диференціальні рівняння]]
[[Категорія:Диференціальні рівняння]]

Версія за 03:10, 17 листопада 2019

У теорії звичайних диференціальних рівнянь теоре́ма Барба́шина — Красо́вського (також при́нцип інваріа́нтності ЛаСа́ля; англ. LaSalle's invariance principle) дає достатні умови асимптотичної стійкості нульового розв'язку системи звичайних диференціальних рівнянь.[1] Загальне твердження було незалежно доведене М. М. Красовським[ru][2] та Д. П. ЛаСалєм[3]. В англомовних джерелах результат відомий під назвою принцип інваріантності ЛаСаля (англ. LaSalle's invariance principle), тоді як в українській (та радянській) літературі здебільшого вживається термін теорема Красовського, або теорема Барбашина-Красовського.

Постановка

Стан системи у фазовому просторі (де ) в час даний точкою , де диференційовні функції. Розглянемо систему звичайних диференціальних рівнянь , де неперервна функція, . Систему можна коротко записати як . Припустимо що є точкою рівноваги системи, тобто .

Теорема Барбашина — Красовського

Якщо існує додатно визначена[en] нескінченно велика функція похідна від якої по часу вздовж траєкторій системи є від'ємно-сталою (тобто повсюди), причому рівність можлива на монжині, яка не містить цілих траєкторій, крім точки , то нульовий розв'язок системи рівнянь стійкий в цілому.

Принцип інваріантності ЛаСаля

Нехай скалярна функція з неперервними частковими похідними повсюди яка також задовольняє

  1. коли ,
  2. повсюди,
  3. з тим як .

Якщо рівність можлива на монжині, яка не містить цілих траєкторій, крім точки , то нульовий розв'язок системи рівнянь стійкий в цілому.

Див. також

Примітки

  1. М. О. Перестюк, О. С. Чернікова. Теорія стійкості [Архівовано 4 березень 2016 у Wayback Machine.], §3. Узагальнення теореми Ляпунова про асимптотичну стійкість, §4. Узагальнення третьої теореми Ляпунова.
  2. Красовский Н. Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения [Архівовано 19 листопад 2015 у Wayback Machine.], 1959. (рос.)
  3. LaSalle, J.P. Some extensions of Liapunov's second method, IRE Transactions on Circuit Theory, CT-7, pp. 520-527, 1960. (англ.)

Оригінальні статті

Посилання