Теорема Борсука — Уляма: відмінності між версіями

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
[неперевірена версія][неперевірена версія]
Немає опису редагування
Мітка: УВАГА! Можливий вандалізм!
Рядок 5: Рядок 5:


=== Приклади та інтерпертація ===
=== Приклади та інтерпертація ===
З теореми для випадку ''n = 2'' зокрема випливає, що у будь-який момент часу на поверхні [[Земля|Землі]] завжди можна знайти дві діаметрально протилежні точки з однаковими [[температура|температурою]] повітря і [[атмосферний тиск|атмосферним тиском]]. Це припускає, що [[температура|температура]] і [[атмосферний тиск|атмосферний тиск]] безперервно змінюються. Для випадку ж, коли ''n = 1'', випливає, що на земному [[екватор|екваторі]] завжди існує пара протилежних точок із тією самою температурою [[температура|температурою]] повітря, що можна значно легше проілюструти, використовуючи [[Теорема Больцано-Коші|Теорему Больцано-Коші]].
З теореми для випадку ''n = 2'' зокрема випливає, що у будь-який момент часу на поверхні [[Земля|Землі]] завжди можна знайти дві діаметрально протилежні точки з однаковими [[температура|температурою]] повітря і [[атмосферний тиск|атмосферним тиском]]. Це припускає, що [[температура|температура]] і [[атмосферний тиск|атмосферний тиск]] безперервно змінюються. Для випадку ж, коли ''n = 1'', випливає: на земному [[екватор|екваторі]] завжди існує пара протилежних точок із тією самою [[температура|температурою]] повітря, що можна значно легше проілюструвати, використовуючи [[Теорема Больцано-Коші|Теорему Больцано-Коші]].


== Наслідки ==
== Наслідки ==

Версія за 19:59, 9 листопада 2012

Теорема Бо́рсука - У́лама стверджує, що кожна неперервна функція із n-сфери в евклідів n-простір відображає деяку пару діаметрально протилежних точок в ту саму точку. Дві точки на сфері називаються діаметрально протилежними, якшо вони знаходяться в прямо протилежних напрямках від центру сфери. Теорема була вперше сформульована Станіславом Уламом, а в 1933 році вона була доведена Каролем Борсуком.

Теорема

Якщо задана неперервна функція , де - сфера в -мірному лінійному просторі, то існують такі дві діаметрально протилежні точки , що .

Приклади та інтерпертація

З теореми для випадку n = 2 зокрема випливає, що у будь-який момент часу на поверхні Землі завжди можна знайти дві діаметрально протилежні точки з однаковими температурою повітря і атмосферним тиском. Це припускає, що температура і атмосферний тиск безперервно змінюються. Для випадку ж, коли n = 1, випливає: на земному екваторі завжди існує пара протилежних точок із тією самою температурою повітря, що можна значно легше проілюструвати, використовуючи Теорему Больцано-Коші.

Наслідки

  • З теореми Борсука — Улама випливає теорема Брауера про нерухому точку.
  • Жодна підмножина не є гомеоморфною до .
  • Теорема Люстерника — Шнірельмана: Якщо покривається n + 1 відкритою множиною, тоді одна з цих пар містить (x, −x) — діаметрально протилежні точки. (дане твердження є еквівалентним до теореми Борсука — Улама)
  • Для довільних компактних множин в існує гіперплощина, що ділить кожну з них на дві підмножини однакової міри.

Література