Теорема Борсука — Уляма: відмінності між версіями

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
[неперевірена версія][неперевірена версія]
Рядок 17: Рядок 17:
* ''Jiří Matoušek'' Using the Borsuk-Ulam theorem — Springer Verlag, Berlin, 2003. ISBN 3-540-00362-2.
* ''Jiří Matoušek'' Using the Borsuk-Ulam theorem — Springer Verlag, Berlin, 2003. ISBN 3-540-00362-2.
* ''L. Lyusternik and S. Shnirel’man'' Topological Methods in Variational Problems. — М.:Issledowatelskii Institut Matematiki i Mechaniki pri O. M. G. U., 1930.
* ''L. Lyusternik and S. Shnirel’man'' Topological Methods in Variational Problems. — М.:Issledowatelskii Institut Matematiki i Mechaniki pri O. M. G. U., 1930.
* {{cite journal| title = Borsuk-Ulam Implies Brouwer: A Direct Construction |first = Francis Edward | last = Su | journal = The American Mathematical Monthly | volume= 104| number=9 |month=Nov.|year=1997|pages= 855–859|url=http://www.math.hmc.edu/~su/papers.dir/borsuk.pdf}}
* {{cite journal| title = Borsuk-Ulam Implies Brouwer: A Direct Construction |first = Francis Edward | last = ''Su'' | journal = The American Mathematical Monthly | volume= 104| number=9 |month=Nov.|year=1997|pages= 855–859|url=http://www.math.hmc.edu/~su/papers.dir/borsuk.pdf}}
* [http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html ''Allen Hatcher'' Algebraic Topology]
* [http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html ''Allen Hatcher'' Algebraic Topology]



Версія за 19:13, 11 листопада 2012

Теорема Бо́рсука - У́лама стверджує, що кожна неперервна функція із n-сфери в евклідів n-простір відображає деяку пару діаметрально протилежних точок в ту саму точку. Дві точки на сфері називаються діаметрально протилежними, якшо вони знаходяться в прямо протилежних напрямках від центру сфери. Теорема була вперше сформульована Станіславом Уламом, а в 1933 році вона була доведена Каролем Борсуком.

Теорема

Якщо задана неперервна функція , де - сфера в -мірному лінійному просторі, то існують такі дві діаметрально протилежні точки , що .

Приклади та інтерпертація

З теореми для випадку n = 2 зокрема випливає, що у будь-який момент часу на поверхні Землі завжди можна знайти дві діаметрально протилежні точки з однаковими температурою повітря і атмосферним тиском. Це припускає, що температура і атмосферний тиск безперервно змінюються. Для випадку ж, коли n = 1, випливає: на земному екваторі завжди існує пара протилежних точок із тією самою температурою повітря, що можна значно легше проілюструвати, використовуючи Теорему Больцано-Коші.

Наслідки

  • З теореми Борсука — Улама випливає теорема Брауера про нерухому точку.
  • Жодна підмножина не є гомеоморфною до .
  • Теорема Люстерника — Шнірельмана: Якщо покривається n + 1 відкритою множиною, тоді одна з цих пар містить (x, −x) — діаметрально протилежні точки. (дане твердження є еквівалентним до теореми Борсука — Улама)
  • Для довільних компактних множин в існує гіперплощина, що ділить кожну з них на дві підмножини однакової міри.

Література

  • K. Borsuk Drei Sätze über die n-dimensionale euklidische Sphäre — Fund. Math., 20 (1933), с. 177—190.
  • Jiří Matoušek Using the Borsuk-Ulam theorem — Springer Verlag, Berlin, 2003. ISBN 3-540-00362-2.
  • L. Lyusternik and S. Shnirel’man Topological Methods in Variational Problems. — М.:Issledowatelskii Institut Matematiki i Mechaniki pri O. M. G. U., 1930.
  • Su, Francis Edward (Nov. 1997). Borsuk-Ulam Implies Brouwer: A Direct Construction. The American Mathematical Monthly 104 (9): 855–859. 
  • Allen Hatcher Algebraic Topology

Відео ілюстрація