Теорема Веддерберна

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Теорема Веддерберна — твердження в абстрактній алгебрі про те, що довільне скінченне асоціативне тіло з одиницею є комутативним, тобто є полем. Теорема названа на честь англійського математика Джозефа Веддерберна.

Доведення

Позначимо F скінченне асоціативне тіло з одиницею характеристики p, Z його центр, a q = pf кількість елементів у Z. Якщо розмірність F як лінійного простору над Z рівна n то F має qn елементів. Мультиплікативну групу F* ненульових елементів тіла F можна розбити на класи еквівалентності щодо такого відношення еквівалентності:

елементи x1 і x2 групи F* є спряженими, якщо існує такий елемент y групи F*, що x2 = y−1x1y.

Для позначимо N(x) централізатор елемента x (щодо множення), тобто множину елементів F, що комутують з x. є підтілом в F, що містить Z. Якщо є розмірністю векторного простору N(x) над Z, то N(x) має елементів. Число n ділиться на і для .

Кількість елементів групи F* спряжених з x рівна індексу групи N(x)* в F*, або

,

тому: (*) , де сума здійснюється по деякому набору представників класів еквівалентності нецентральних елементів з F*.

Припустимо n > 1 і нехай

,

де множення здійснюється по всіх первісних коренях n-того степеня з одиниці в полі комплексних чисел. Цей многочлен називається многочленом поділу кола. Якщо число ділить n i не є рівним n, то многочлен P ділить як так і

.

З (*) отримуємо, що також P (q) | q — 1 і, як наслідок З іншої сторони кожен множник в добутку

має абсолютне значення більше від q — 1 і відповідно

Тому n = 1 і F = Z, тобто F є полем.

Посилання

Джерела

  • Wedderburn. „Trans. Amer. Math. Soc.”. 6, ss. 349-352, 1905. Amer. math. Soc.. 
  • Martin Aigner, Günter M. Ziegler: Proofs from the book. Springer, Berlin u. a. 1998, ISBN 3-540-63698-6.